Математический анализ Примеры

\int x arccot (x) d x

$\int x arccot (x) d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу

\int u d v = u v - \int v d u

$\int u d v = u v - \int v d u$ , где

u = arccot (x)

$u = arccot (x)$ и

d v = x

$d v = x$ .

arccot (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} (- \frac{1}{1 + x^{2}}) d x

$arccot (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} (- \frac{1}{1 + x^{2}}) d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ и

x^{2}

$x^{2}$ .

arccot (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} (- \frac{1}{1 + x^{2}}) d x

$arccot (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} (- \frac{1}{1 + x^{2}}) d x$

Этап 2.2

Объединим

arccot (x)

$arccot (x)$ и

\frac{x^{2}}{2}

$\frac{x^{2}}{2}$ .

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} (- \frac{1}{1 + x^{2}}) d x

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} (- \frac{1}{1 + x^{2}}) d x$

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} (- \frac{1}{1 + x^{2}}) d x

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} (- \frac{1}{1 + x^{2}}) d x$

Этап 3

Поскольку

\frac{1}{2} \cdot - 1

$\frac{1}{2} \cdot - 1$ — константа по отношению к

x

$x$ , вынесем

\frac{1}{2} \cdot - 1

$\frac{1}{2} \cdot - 1$ из-под знака интеграла.

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 1 \int x^{2} (\frac{1}{1 + x^{2}}) d x)

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 1 \int x^{2} (\frac{1}{1 + x^{2}}) d x)$

Этап 4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Объединим

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ и

- 1

$- 1$ .

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} - (\frac{- 1}{2} \int x^{2} (\frac{1}{1 + x^{2}}) d x)

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} - (\frac{- 1}{2} \int x^{2} (\frac{1}{1 + x^{2}}) d x)$

Этап 4.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} - (- \frac{1}{2} \int x^{2} (\frac{1}{1 + x^{2}}) d x)

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} - (- \frac{1}{2} \int x^{2} (\frac{1}{1 + x^{2}}) d x)$

Этап 4.1.3

Объединим

x^{2}

$x^{2}$ и

\frac{1}{1 + x^{2}}

$\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} - (- \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} d x)

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} - (- \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} d x)$

Этап 4.1.4

Умножим

- 1

$- 1$ на

- 1

$- 1$ .

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + 1 (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} d x)

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + 1 (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} d x)$

Этап 4.1.5

Умножим

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ на

1

$1$ .

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} d x

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} d x$

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} d x

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4.2

Изменим порядок

1

$1$ и

x^{2}

$x^{2}$ .

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Этап 5

Разделим

x^{2}

$x^{2}$ на

x^{2} + 1

$x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением

0

$0$ .

x^{2}

$x^{2}$

0 x

$0 x$

1

$1$

x^{2}

$x^{2}$

0 x

$0 x$

0

$0$

Этап 5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом

x^{2}

$x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе

x^{2}

$x^{2}$ .

							$1$ $1$
	$x^{2}$ $x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	+	$1$ $1$		$x^{2}$ $x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	+	$0$ $0$

Этап 5.3

Умножим новое частное на делитель.

						$1$ $1$
$x^{2}$ $x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	+	$1$ $1$		$x^{2}$ $x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	+	$0$ $0$
					+	$x^{2}$ $x^{2}$	+	$0$ $0$	+	$1$ $1$

Этап 5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в

x^{2} + 0 + 1

$x^{2} + 0 + 1$ .

						$1$ $1$
$x^{2}$ $x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	+	$1$ $1$		$x^{2}$ $x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	+	$0$ $0$
					-	$x^{2}$ $x^{2}$	-	$0$ $0$	-	$1$ $1$

Этап 5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

						$1$ $1$
$x^{2}$ $x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	+	$1$ $1$		$x^{2}$ $x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	+	$0$ $0$
					-	$x^{2}$ $x^{2}$	-	$0$ $0$	-	$1$ $1$
									-	$1$ $1$

Этап 5.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \int 1 - \frac{1}{x^{2} + 1} d x

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \int 1 - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \int 1 - \frac{1}{x^{2} + 1} d x

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \int 1 - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (\int d x + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (\int d x + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (x + C + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (x + C + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Этап 8

Поскольку

- 1

$- 1$ — константа по отношению к

x

$x$ , вынесем

- 1

$- 1$ из-под знака интеграла.

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x)

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Этап 9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Изменим порядок

x^{2}

$x^{2}$ и

1

$1$ .

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x)

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x)$

Этап 9.2

Перепишем

1

$1$ в виде

1^{2}

$1^{2}$ .

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x)

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x)$

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x)

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x)$

Этап 10

Интеграл

\frac{1}{1^{2} + x^{2}}

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ по

x

$x$ имеет вид

\arctan (x) + C

$\arctan (x) + C$ .

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (x + C - (\arctan (x) + C))

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (x + C - (\arctan (x) + C))$

Этап 11

Упростим.

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{x}{2} - \frac{\arctan (x)}{2} + C

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{x}{2} - \frac{\arctan (x)}{2} + C$

Этап 12

Изменим порядок членов.

\frac{1}{2} arccot (x) x^{2} + \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \arctan (x) + C

$\frac{1}{2} arccot (x) x^{2} + \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \arctan (x) + C$