Математический анализ Примеры

$\int x {(3 x + 8)}^{11} d x$

Этап 1

Пусть $u = 3 x + 8$ . Тогда $d u = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 3 x + 8$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $3 x + 8$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 8]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $3 x + 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $3$ на $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $3$ и $0$ .

$3$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int (\frac{u}{3} - \frac{8}{3}) u^{11} \frac{1}{3} d u$

Этап 2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $u^{11}$ .

$\int (\frac{u}{3} - \frac{8}{3}) \frac{u^{11}}{3} d u$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int \frac{u}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

Этап 3.2

Умножим $\frac{u}{3}$ на $\frac{u^{11}}{3}$ .

$\int \frac{u \cdot u^{11}}{3 \cdot 3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

Этап 3.3

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int \frac{u^{1} u^{11}}{3 \cdot 3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

Этап 3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \frac{u^{1 + 11}}{3 \cdot 3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

Этап 3.5

Добавим $1$ и $11$ .

$\int \frac{u^{12}}{3 \cdot 3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

Этап 3.6

Умножим $3$ на $3$ .

$\int \frac{u^{12}}{9} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

Этап 3.7

Объединим $- \frac{8}{3}$ и $\frac{u^{11}}{3}$ .

$\int \frac{u^{12}}{9} - \frac{8 u^{11}}{3 \cdot 3} d u$

Этап 3.8

Умножим $3$ на $3$ .

$\int \frac{u^{12}}{9} - \frac{8 u^{11}}{9} d u$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{u^{12}}{9} d u + \int - \frac{8 u^{11}}{9} d u$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{9}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{9}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{9} \int u^{12} d u + \int - \frac{8 u^{11}}{9} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{12}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{13} u^{13}$ .

$\frac{1}{9} (\frac{1}{13} u^{13} + C) + \int - \frac{8 u^{11}}{9} d u$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{9} (\frac{1}{13} u^{13} + C) - \int \frac{8 u^{11}}{9} d u$

Этап 8

Поскольку $\frac{8}{9}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{8}{9}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{9} (\frac{1}{13} u^{13} + C) - (\frac{8}{9} \int u^{11} d u)$

Этап 9

По правилу степени интеграл $u^{11}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{12} u^{12}$ .

$\frac{1}{9} (\frac{1}{13} u^{13} + C) - \frac{8}{9} (\frac{1}{12} u^{12} + C)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{13} u^{13} - \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{12} u^{12} + C$

Этап 10.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Умножим $\frac{1}{9}$ на $\frac{1}{13}$ .

$\frac{1}{9 \cdot 13} u^{13} - \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{12} u^{12} + C$

Этап 10.2.2

Умножим $9$ на $13$ .

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{12} u^{12} + C$

Этап 10.2.3

Умножим $\frac{1}{12}$ на $\frac{8}{9}$ .

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{8}{12 \cdot 9} u^{12} + C$

Этап 10.2.4

Умножим $12$ на $9$ .

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{8}{108} u^{12} + C$

Этап 10.2.5

Сократим общий множитель $8$ и $108$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.5.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{4 (2)}{108} u^{12} + C$

Этап 10.2.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.5.2.1

Вынесем множитель $4$ из $108$ .

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 27} u^{12} + C$

Этап 10.2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 27} u^{12} + C$

Этап 10.2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{2}{27} u^{12} + C$

Этап 11

Заменим все вхождения $u$ на $3 x + 8$ .

$\frac{1}{117} {(3 x + 8)}^{13} - \frac{2}{27} {(3 x + 8)}^{12} + C$