Математический анализ Примеры

Вычислим интеграл интеграл t натуральный логарифм t+1 по t
Этап 1
Проинтегрируем по частям, используя формулу , где и .
Этап 2
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Объединим и .
Этап 2.2
Объединим и .
Этап 3
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 4
Объединим и .
Этап 5
Разделим на .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1
Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением .
+++
Этап 5.2
Разделим член с максимальной степенью в делимом на член с максимальной степенью в делителе .
+++
Этап 5.3
Умножим новое частное на делитель.
+++
++
Этап 5.4
Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в .
+++
--
Этап 5.5
После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.
+++
--
-
Этап 5.6
Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.
+++
--
-+
Этап 5.7
Разделим член с максимальной степенью в делимом на член с максимальной степенью в делителе .
-
+++
--
-+
Этап 5.8
Умножим новое частное на делитель.
-
+++
--
-+
--
Этап 5.9
Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в .
-
+++
--
-+
++
Этап 5.10
После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.
-
+++
--
-+
++
+
Этап 5.11
Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.
Этап 6
Разделим данный интеграл на несколько интегралов.
Этап 7
По правилу степени интеграл по имеет вид .
Этап 8
Применим правило дифференцирования постоянных функций.
Этап 9
Пусть . Тогда . Перепишем, используя и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.1
Пусть . Найдем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.1.1
Дифференцируем .
Этап 9.1.2
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 9.1.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 9.1.4
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 9.1.5
Добавим и .
Этап 9.2
Переформулируем задачу с помощью и .
Этап 10
Интеграл по имеет вид .
Этап 11
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 11.1
Упростим.
Этап 11.2
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 11.2.1
Объединим и .
Этап 11.2.2
Объединим и .
Этап 11.2.3
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 11.2.4
Объединим и .
Этап 11.2.5
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 11.2.6
Объединим и .
Этап 11.2.7
Умножим на .
Этап 11.2.8
Объединим и .
Этап 11.2.9
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 11.2.9.1
Вынесем множитель из .
Этап 11.2.9.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 11.2.9.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 11.2.9.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 11.2.9.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 11.2.9.2.4
Разделим на .
Этап 12
Заменим все вхождения на .
Этап 13
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 13.1
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 13.2
Объединим и .
Этап 13.3
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 13.4
Перенесем влево от .
Этап 13.5
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 13.6
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 13.6.1
Умножим на .
Этап 13.6.2
Умножим на .
Этап 14
Изменим порядок членов.