Математический анализ Примеры

$\int x (90 x^{2} + 30 x) d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x (90 x^{2}) + x (30 x) d x$

Этап 1.2

Изменим порядок $x$ и $90$ .

$\int 90 \cdot x \cdot x^{2} + x (30 x) d x$

Этап 1.3

Изменим порядок $x$ и $30$ .

$\int 90 \cdot x \cdot x^{2} + 30 \cdot x \cdot x d x$

Этап 1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int 90 (x^{1} x^{2}) + 30 x \cdot x d x$

Этап 1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 90 x^{1 + 2} + 30 x \cdot x d x$

Этап 1.6

Добавим $1$ и $2$ .

$\int 90 x^{3} + 30 x \cdot x d x$

Этап 1.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int 90 x^{3} + 30 (x^{1} x) d x$

Этап 1.8

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int 90 x^{3} + 30 (x^{1} x^{1}) d x$

Этап 1.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 90 x^{3} + 30 x^{1 + 1} d x$

Этап 1.10

Добавим $1$ и $1$ .

$\int 90 x^{3} + 30 x^{2} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 90 x^{3} d x + \int 30 x^{2} d x$

Этап 3

Поскольку $90$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $90$ из-под знака интеграла.

$90 \int x^{3} d x + \int 30 x^{2} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$90 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 30 x^{2} d x$

Этап 5

Поскольку $30$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $30$ из-под знака интеграла.

$90 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 30 \int x^{2} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$90 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 30 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим.

$90 (\frac{1}{4}) x^{4} + 30 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим $90$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{90}{4} x^{4} + 30 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Этап 7.2.2

Сократим общий множитель $90$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $90$ .

$\frac{2 (45)}{4} x^{4} + 30 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Этап 7.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 45}{2 \cdot 2} x^{4} + 30 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Этап 7.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 45}{2 \cdot 2} x^{4} + 30 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Этап 7.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{45}{2} x^{4} + 30 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Этап 7.2.3

Объединим $30$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{45}{2} x^{4} + \frac{30}{3} x^{3} + C$

Этап 7.2.4

Сократим общий множитель $30$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Вынесем множитель $3$ из $30$ .

$\frac{45}{2} x^{4} + \frac{3 \cdot 10}{3} x^{3} + C$

Этап 7.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{45}{2} x^{4} + \frac{3 \cdot 10}{3 (1)} x^{3} + C$

Этап 7.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{45}{2} x^{4} + \frac{3 \cdot 10}{3 \cdot 1} x^{3} + C$

Этап 7.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{45}{2} x^{4} + \frac{10}{1} x^{3} + C$

Этап 7.2.4.2.4

Разделим $10$ на $1$ .

$\frac{45}{2} x^{4} + 10 x^{3} + C$