Математический анализ Примеры

$\int x {(x^{2} + 2)}^{6} d x$

Этап 1

Пусть $u = x^{2} + 2$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x^{2} + 2$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x^{2} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.1.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 1.1.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int u^{6} \frac{1}{2} d u$

Этап 2

Объединим $u^{6}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u^{6}}{2} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int u^{6} d u$

Этап 4

По правилу степени интеграл $u^{6}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{7} u^{7} + C)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $\frac{1}{2} (\frac{1}{7} u^{7} + C)$ в виде $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{7} u^{7} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{7} u^{7} + C$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{7}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 7} u^{7} + C$

Этап 5.2.2

Умножим $2$ на $7$ .

$\frac{1}{14} u^{7} + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 2$ .

$\frac{1}{14} {(x^{2} + 2)}^{7} + C$