Математический анализ Примеры

$16 p \int_{0}^{5} {(1 - \frac{x}{5})}^{2} d x$

Этап 1

Пусть $u = 1 - \frac{x}{5}$ . Тогда $d u = - \frac{1}{5} d x$ , следовательно $- 5 d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 1 - \frac{x}{5}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $1 - \frac{x}{5}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - \frac{x}{5}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $1 - \frac{x}{5}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{5}]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{5}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- \frac{1}{5}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{x}{5}$ по $x$ равна $- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - \frac{1}{5} \cdot 1$

Этап 1.1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 - \frac{1}{5}$

Этап 1.1.4

Вычтем $\frac{1}{5}$ из $0$ .

$- \frac{1}{5}$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 - \frac{x}{5}$ .

$u_{lower} = 1 - \frac{0}{5}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Разделим $0$ на $5$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Этап 1.3.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Этап 1.3.2

Добавим $1$ и $0$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 - \frac{x}{5}$ .

$u_{upper} = 1 - \frac{5}{5}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1.1

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = 1 - \frac{5}{5}$

Этап 1.5.1.1.2

Перепишем это выражение.

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

Этап 1.5.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1$

Этап 1.5.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$u_{upper} = 0$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$16 p \int_{1}^{0} - u^{2} \frac{- 1}{- \frac{1}{5}} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$16 p \int_{1}^{0} - u^{2} \frac{1}{\frac{1}{5}} d u$

Этап 2.2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{5}$ .

$16 p \int_{1}^{0} - u^{2} (1 \cdot 5) d u$

Этап 2.3

Умножим $5$ на $1$ .

$16 p \int_{1}^{0} - u^{2} \cdot 5 d u$

Этап 2.4

Умножим $5$ на $- 1$ .

$16 p \int_{1}^{0} - 5 u^{2} d u$

Этап 3

Поскольку $- 5$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 5$ из-под знака интеграла.

$16 p (- 5 \int_{1}^{0} u^{2} d u)$

Этап 4

Умножим $- 5$ на $16$ .

$- 80 p \int_{1}^{0} u^{2} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- 80 p \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}$

Этап 6

Объединим $\frac{1}{3}$ и $u^{3}$ .

$- 80 p \frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $\frac{u^{3}}{3}$ в $0$ и в $1$ .

$- 80 p ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 80 p (\frac{0}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 7.2.2

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$- 80 p (\frac{3 (0)}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 7.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- 80 p (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 7.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- 80 p (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 7.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- 80 p (\frac{0}{1} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 7.2.2.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- 80 p (0 - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 7.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$- 80 p (0 - \frac{1}{3})$

Этап 7.2.4

Вычтем $\frac{1}{3}$ из $0$ .

$- 80 p (- \frac{1}{3})$

Этап 7.2.5

Умножим $- 1$ на $- 80$ .

$80 p \frac{1}{3}$

Этап 7.2.6

Объединим $80$ и $\frac{1}{3}$ .

$p \frac{80}{3}$

Этап 7.2.7

Объединим $p$ и $\frac{80}{3}$ .

$\frac{p \cdot 80}{3}$

Этап 7.2.8

Перенесем $80$ влево от $p$ .

$\frac{80 p}{3}$

Этап 8

Изменим порядок членов.

$\frac{80}{3} p$

Этап 9

Объединим $\frac{80}{3}$ и $p$ .

$\frac{80 p}{3}$

Этап 10