Математический анализ Примеры

$\frac{10}{3 \int {(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}} d t}$

Этап 1

Пусть $u = 1 + 0.2 t$ . Тогда $d u = 0.2 d t$ , следовательно $\frac{1}{0.2} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 1 + 0.2 t$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $1 + 0.2 t$ .

$\frac{d}{d t} [1 + 0.2 t]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $1 + 0.2 t$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [0.2 t]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [0.2 t]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [0.2 t]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [0.2 t]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $0.2$ является константой относительно $t$ , производная $0.2 t$ по $t$ равна $0.2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 + 0.2 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 0.2 \cdot 1$

Этап 1.1.3.3

Умножим $0.2$ на $1$ .

$0 + 0.2$

Этап 1.1.4

Добавим $0$ и $0.2$ .

$0.2$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{10}{3 \int u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{0.2} d u}$

Этап 2

Объединим $u^{\frac{3}{2}}$ и $\frac{1}{0.2}$ .

$\frac{10}{3 \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{0.2} d u}$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{0.2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{0.2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{10}{3 (\frac{1}{0.2} \int u^{\frac{3}{2}} d u)}$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{0.2}$ и $3$ .

$\frac{10}{\frac{3}{0.2} \int u^{\frac{3}{2}} d u}$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{\frac{3}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{10}{\frac{3}{0.2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $\frac{10}{\frac{3}{0.2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)}$ в виде $\frac{10}{15 (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}})} + C$ .

$\frac{10}{15 (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}})} + C$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Объединим $\frac{2}{5}$ и $u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{10}{15 \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}} + C$

Этап 6.2.2

Объединим $15$ и $\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}$ .

$\frac{10}{\frac{15 (2 u^{\frac{5}{2}})}{5}} + C$

Этап 6.2.3

Умножим $2$ на $15$ .

$\frac{10}{\frac{30 u^{\frac{5}{2}}}{5}} + C$

Этап 6.2.4

Вынесем множитель $5$ из $30 u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{10}{\frac{5 (6 u^{\frac{5}{2}})}{5}} + C$

Этап 6.2.5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$\frac{10}{\frac{5 (6 u^{\frac{5}{2}})}{5 (1)}} + C$

Этап 6.2.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{10}{\frac{5 (6 u^{\frac{5}{2}})}{5 \cdot 1}} + C$

Этап 6.2.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{10}{\frac{6 u^{\frac{5}{2}}}{1}} + C$

Этап 6.2.5.4

Разделим $6 u^{\frac{5}{2}}$ на $1$ .

$\frac{10}{6 u^{\frac{5}{2}}} + C$

Этап 6.2.6

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$\frac{2 (5)}{6 u^{\frac{5}{2}}} + C$

Этап 6.2.7

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.1

Вынесем множитель $2$ из $6 u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2 (5)}{2 (3 u^{\frac{5}{2}})} + C$

Этап 6.2.7.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 5}{2 (3 u^{\frac{5}{2}})} + C$

Этап 6.2.7.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5}{3 u^{\frac{5}{2}}} + C$

Этап 7

Заменим все вхождения $u$ на $1 + 0.2 t$ .

$\frac{5}{3 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{5}{2}}} + C$