Математический анализ Примеры

$\int x \arcsin (x^{2}) d x$

Этап 1

Пусть $u_{1} = x^{2}$ . Тогда $d u_{1} = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{1} = x^{2}$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \arcsin (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2

Объединим $\arcsin (u_{1})$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\arcsin (u_{1})}{2} d u_{1}$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \arcsin (u_{1}) d u_{1}$

Этап 4

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int w d v = w v - \int v d w$ , где $w = \arcsin (u_{1})$ и $dv = 1$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} - \int u_{1} \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} d u_{1})$

Этап 5

Объединим $u_{1}$ и $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} - \int \frac{u_{1}}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} d u_{1})$

Этап 6

Пусть $u_{2} = 1 - {u_{1}}^{2}$ . Тогда $d u_{2} = - 2 u_{1} d u_{1}$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u_{2} = 1 - {u_{1}}^{2}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $1 - {u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 - {u_{1}}^{2}]$

Этап 6.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

По правилу суммы производная $1 - {u_{1}}^{2}$ по $u_{1}$ имеет вид $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$

Этап 6.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $1$ относительно $u_{1}$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$

Этап 6.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $- {u_{1}}^{2}$ по $u_{1}$ равна $- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Этап 6.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 - (2 u_{1})$

Этап 6.1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$0 - 2 u_{1}$

Этап 6.1.4

Вычтем $2 u_{1}$ из $0$ .

$- 2 u_{1}$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} - \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2})$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} - \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} (- \frac{1}{2}) d u_{2})$

Этап 7.2

Умножим $\frac{1}{\sqrt{u_{2}}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} - \int - \frac{1}{\sqrt{u_{2}} \cdot 2} d u_{2})$

Этап 7.3

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} - \int - \frac{1}{2 \sqrt{u_{2}}} d u_{2})$

Этап 8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} - - \int \frac{1}{2 \sqrt{u_{2}}} d u_{2})$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + 1 \int \frac{1}{2 \sqrt{u_{2}}} d u_{2})$

Этап 9.2

Умножим $\int \frac{1}{2 \sqrt{u_{2}}} d u_{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + \int \frac{1}{2 \sqrt{u_{2}}} d u_{2})$

Этап 10

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2})$

Этап 11

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u_{2}}$ в виде ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2})$

Этап 11.2

Вынесем ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + \frac{1}{2} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2})$

Этап 11.3

Перемножим экспоненты в ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2})$

Этап 11.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2})$

Этап 11.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2})$

Этап 12

По правилу степени интеграл ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + \frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C))$

Этап 13

Перепишем $\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + \frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C))$ в виде $\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + {u_{2}}^{\frac{1}{2}}) + C$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + {u_{2}}^{\frac{1}{2}}) + C$

Этап 14

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x^{2}) x^{2} + {u_{2}}^{\frac{1}{2}}) + C$

Этап 14.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $1 - {u_{1}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x^{2}) x^{2} + {(1 - {u_{1}}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Этап 14.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x^{2}) x^{2} + {(1 - {(x^{2})}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x^{2}) x^{2} + {(1 - x^{2 \cdot 2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Этап 15.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x^{2}) x^{2} + {(1 - x^{4})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Этап 15.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} (\arcsin (x^{2}) x^{2}) + \frac{1}{2} {(1 - x^{4})}^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 15.3

Умножим $\frac{1}{2} (\arcsin (x^{2}) x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.1

Объединим $\arcsin (x^{2})$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\arcsin (x^{2})}{2} x^{2} + \frac{1}{2} {(1 - x^{4})}^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 15.3.2

Объединим $\frac{\arcsin (x^{2})}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{\arcsin (x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} {(1 - x^{4})}^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 15.4

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(1 - x^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\arcsin (x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{{(1 - x^{4})}^{\frac{1}{2}}}{2} + C$

Этап 15.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\arcsin (x^{2}) x^{2} + {(1 - x^{4})}^{\frac{1}{2}}}{2} + C$

Этап 15.6

Изменим порядок множителей в $\arcsin (x^{2}) x^{2} + {(1 - x^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{2} \arcsin (x^{2}) + {(1 - x^{4})}^{\frac{1}{2}}}{2} + C$

Этап 16

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} (x^{2} \arcsin (x^{2}) + {(1 - x^{4})}^{\frac{1}{2}}) + C$