Математический анализ Примеры

$\int x \arctan (7 x) d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \arctan (7 x)$ и $d v = x$ .

$\arctan (7 x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{7}{49 x^{2} + 1} d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\arctan (7 x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{7}{49 x^{2} + 1} d x$

Этап 2.2

Объединим $\arctan (7 x)$ и $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{7}{49 x^{2} + 1} d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{7}{49 x^{2} + 1} d x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{7}{49 x^{2} + 1}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2} \cdot 7}{49 x^{2} + 1} d x)$

Этап 4.2

Перенесем $7$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{7 x^{2}}{49 x^{2} + 1} d x$

Этап 5

Поскольку $7$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $7$ из-под знака интеграла.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (7 \int \frac{x^{2}}{49 x^{2} + 1} d x)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $7$ на $- 1$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - 7 (\frac{1}{2}) \int \frac{x^{2}}{49 x^{2} + 1} d x$

Этап 6.2

Объединим $- 7$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} + \frac{- 7}{2} \int \frac{x^{2}}{49 x^{2} + 1} d x$

Этап 6.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} \int \frac{x^{2}}{49 x^{2} + 1} d x$

Этап 7

Разделим $x^{2}$ на $49 x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$49 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Этап 7.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $49 x^{2}$ .

							$\frac{1}{49}$
	$49 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Этап 7.3

Умножим новое частное на делитель.

						$\frac{1}{49}$
$49 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$\frac{1}{49}$

Этап 7.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{2} + 0 + \frac{1}{49}$ .

						$\frac{1}{49}$
$49 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$\frac{1}{49}$

Этап 7.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

						$\frac{1}{49}$
$49 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$\frac{1}{49}$
									-	$\frac{1}{49}$

Этап 7.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} \int \frac{1}{49} - \frac{1}{49 (49 x^{2} + 1)} d x$

Этап 8

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\int \frac{1}{49} d x + \int - \frac{1}{49 (49 x^{2} + 1)} d x)$

Этап 9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C + \int - \frac{1}{49 (49 x^{2} + 1)} d x)$

Этап 10

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \int \frac{1}{49 (49 x^{2} + 1)} d x)$

Этап 11

Поскольку $\frac{1}{49}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{49}$ из-под знака интеграла.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - (\frac{1}{49} \int \frac{1}{49 x^{2} + 1} d x))$

Этап 12

Изменим порядок $49 x^{2}$ и $1$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{49} \int \frac{1}{1 + 49 x^{2}} d x)$

Этап 13

Вынесем множитель $49$ из $1 + 49 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Вынесем множитель $49$ из $1$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{49} \int \frac{1}{49 (\frac{1}{49}) + 49 x^{2}} d x)$

Этап 13.2

Вынесем множитель $49$ из $49 x^{2}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{49} \int \frac{1}{49 (\frac{1}{49}) + 49 (x^{2})} d x)$

Этап 13.3

Вынесем множитель $49$ из $49 (\frac{1}{49}) + 49 (x^{2})$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{49} \int \frac{1}{49 (\frac{1}{49} + x^{2})} d x)$

Этап 14

Поскольку $\frac{1}{49}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{49}$ из-под знака интеграла.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{49} (\frac{1}{49} \int \frac{1}{\frac{1}{49} + x^{2}} d x))$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Умножим $\frac{1}{49}$ на $\frac{1}{49}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{49 \cdot 49} \int \frac{1}{\frac{1}{49} + x^{2}} d x)$

Этап 15.2

Умножим $49$ на $49$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} \int \frac{1}{\frac{1}{49} + x^{2}} d x)$

Этап 16

Перепишем $\frac{1}{49}$ в виде ${(\frac{1}{7})}^{2}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} \int \frac{1}{{(\frac{1}{7})}^{2} + x^{2}} d x)$

Этап 17

Интеграл $\frac{1}{{(\frac{1}{7})}^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{\frac{1}{7}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{7}}) + C$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} (\frac{1}{\frac{1}{7}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{7}}) + C))$

Этап 18

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{7}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} (1 \cdot 7 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{7}}) + C))$

Этап 18.1.2

Умножим $7$ на $1$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} (7 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{7}}) + C))$

Этап 18.1.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{7}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} (7 \arctan (x \cdot 7) + C))$

Этап 18.1.4

Перенесем $7$ влево от $x$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} (7 \arctan (7 x) + C))$

Этап 18.2

Упростим.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343}) + C$

Этап 18.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.1

Чтобы записать $- \frac{7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Этап 18.3.2

Объединим $- \frac{7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} + \frac{- \frac{7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343}) \cdot 2}{2} + C$

Этап 18.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343}) \cdot 2}{2} + C$

Этап 18.3.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - 2 (\frac{7}{2}) (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Этап 18.3.5

Объединим $- 2$ и $\frac{7}{2}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + \frac{- 2 \cdot 7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Этап 18.3.6

Умножим $- 2$ на $7$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + \frac{- 14}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Этап 18.3.7

Сократим общий множитель $- 14$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.7.1

Вынесем множитель $2$ из $- 14$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + \frac{2 \cdot - 7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Этап 18.3.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + \frac{2 \cdot - 7}{2 (1)} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Этап 18.3.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + \frac{2 \cdot - 7}{2 \cdot 1} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Этап 18.3.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + \frac{- 7}{1} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Этап 18.3.7.2.4

Разделим $- 7$ на $1$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - 7 (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Этап 18.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - 7 \frac{x}{49} - 7 (- \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Этап 18.4.2

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.2.1

Вынесем множитель $7$ из $- 7$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + 7 (- 1) \frac{x}{49} - 7 (- \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Этап 18.4.2.2

Вынесем множитель $7$ из $49$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + 7 \cdot - 1 \frac{x}{7 \cdot 7} - 7 (- \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Этап 18.4.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + 7 \cdot - 1 \frac{x}{7 \cdot 7} - 7 (- \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Этап 18.4.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} - 7 (- \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Этап 18.4.3

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\arctan (7 x)}{343}$ в числитель.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} - 7 \frac{- \arctan (7 x)}{343}}{2} + C$

Этап 18.4.3.2

Вынесем множитель $7$ из $- 7$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} + 7 (- 1) \frac{- \arctan (7 x)}{343}}{2} + C$

Этап 18.4.3.3

Вынесем множитель $7$ из $343$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} + 7 \cdot - 1 \frac{- \arctan (7 x)}{7 \cdot 49}}{2} + C$

Этап 18.4.3.4

Сократим общий множитель.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} + 7 \cdot - 1 \frac{- \arctan (7 x)}{7 \cdot 49}}{2} + C$

Этап 18.4.3.5

Перепишем это выражение.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} - \frac{- \arctan (7 x)}{49}}{2} + C$

Этап 18.4.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} - - \frac{\arctan (7 x)}{49}}{2} + C$

Этап 18.4.4.2

Умножим $- - \frac{\arctan (7 x)}{49}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.4.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} + 1 \frac{\arctan (7 x)}{49}}{2} + C$

Этап 18.4.4.2.2

Умножим $\frac{\arctan (7 x)}{49}$ на $1$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} + \frac{\arctan (7 x)}{49}}{2} + C$

Этап 19

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} (\arctan (7 x) x^{2} - \frac{1}{7} x + \frac{1}{49} \arctan (7 x)) + C$