Математический анализ Примеры

$\int x \sin (\frac{1}{6} x) d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = \sin (\frac{1}{6} x)$ .

$x (- 6 \cos (\frac{1}{6} x)) - \int - 6 \cos (\frac{1}{6} x) d x$

Этап 2

Поскольку $- 6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 6$ из-под знака интеграла.

$x (- 6 \cos (\frac{1}{6} x)) - (- 6 \int \cos (\frac{1}{6} x) d x)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{6}$ и $x$ .

$x (- 6 \cos (\frac{x}{6})) - (- 6 \int \cos (\frac{1}{6} x) d x)$

Этап 3.2

Объединим $\frac{1}{6}$ и $x$ .

$x (- 6 \cos (\frac{x}{6})) - (- 6 \int \cos (\frac{x}{6}) d x)$

Этап 3.3

Умножим $- 6$ на $- 1$ .

$x (- 6 \cos (\frac{x}{6})) + 6 \int \cos (\frac{x}{6}) d x$

Этап 4

Пусть $u = \frac{x}{6}$ . Тогда $d u = \frac{1}{6} d x$ , следовательно $6 d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = \frac{x}{6}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $\frac{x}{6}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{6}]$

Этап 4.1.2

Поскольку $\frac{1}{6}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{6}$ по $x$ равна $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{6} \cdot 1$

Этап 4.1.4

Умножим $\frac{1}{6}$ на $1$ .

$\frac{1}{6}$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$x (- 6 \cos (\frac{x}{6})) + 6 \int \cos (u) \frac{1}{\frac{1}{6}} d u$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{6}$ .

$x (- 6 \cos (\frac{x}{6})) + 6 \int \cos (u) (1 \cdot 6) d u$

Этап 5.2

Умножим $6$ на $1$ .

$x (- 6 \cos (\frac{x}{6})) + 6 \int \cos (u) \cdot 6 d u$

Этап 5.3

Перенесем $6$ влево от $\cos (u)$ .

$x (- 6 \cos (\frac{x}{6})) + 6 \int 6 \cos (u) d u$

Этап 6

Поскольку $6$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$x (- 6 \cos (\frac{x}{6})) + 6 (6 \int \cos (u) d u)$

Этап 7

Умножим $6$ на $6$ .

$x (- 6 \cos (\frac{x}{6})) + 36 \int \cos (u) d u$

Этап 8

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$x (- 6 \cos (\frac{x}{6})) + 36 (\sin (u) + C)$

Этап 9

Перепишем $x (- 6 \cos (\frac{x}{6})) + 36 (\sin (u) + C)$ в виде $- 6 x \cos (\frac{x}{6}) + 36 \sin (u) + C$ .

$- 6 x \cos (\frac{x}{6}) + 36 \sin (u) + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{6}$ .

$- 6 x \cos (\frac{x}{6}) + 36 \sin (\frac{x}{6}) + C$

Этап 11

Изменим порядок членов.

$- 6 x \cos (\frac{1}{6} x) + 36 \sin (\frac{1}{6} x) + C$