Математический анализ Примеры

$f (x) = e^{- x} \ln (x)$ , $(1, 0)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 1$ и $y = 0$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = e^{- x}$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{- x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 1.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$e^{- x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 1.3

Объединим $e^{- x}$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 1.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 1.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Этап 1.5.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (e^{- x} \cdot - 1)$

Этап 1.5.3.2

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (- 1 \cdot e^{- x})$

Этап 1.5.3.3

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (- e^{- x})$

Этап 1.5.3.4

Изменим порядок членов.

$- e^{- x} \ln (x) + \frac{e^{- x}}{x}$

Этап 1.6

Найдем производную в $x = 1$ .

$- e^{- (1)} \ln (1) + \frac{e^{- (1)}}{1}$

Этап 1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- e^{- (1)} \ln (1) + \frac{e^{- 1}}{1}$

Этап 1.7.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- e^{- 1} \ln (1) + \frac{e^{- 1}}{1}$

Этап 1.7.2.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{e} \ln (1) + \frac{e^{- 1}}{1}$

Этап 1.7.2.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$- \frac{1}{e} \cdot 0 + \frac{e^{- 1}}{1}$

Этап 1.7.2.4

Умножим $- \frac{1}{e} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.2.4.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$0 \frac{1}{e} + \frac{e^{- 1}}{1}$

Этап 1.7.2.4.2

Умножим $0$ на $\frac{1}{e}$ .

$0 + \frac{e^{- 1}}{1}$

Этап 1.7.2.5

Перенесем $e^{- 1}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{1}{e}$

Этап 1.7.3

Добавим $0$ и $\frac{1}{e}$ .

$\frac{1}{e}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $\frac{1}{e}$ и координаты заданной точки $(1, 0)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = \frac{1}{e} \cdot (x - (1))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y + 0 = \frac{1}{e} \cdot (x - 1)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Добавим $y$ и $0$ .

$y = \frac{1}{e} \cdot (x - 1)$

Этап 2.3.2

Упростим $\frac{1}{e} \cdot (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{1}{e} x + \frac{1}{e} \cdot - 1$

Этап 2.3.2.2

Объединим $\frac{1}{e}$ и $x$ .

$y = \frac{x}{e} + \frac{1}{e} \cdot - 1$

Этап 2.3.2.3

Объединим $\frac{1}{e}$ и $- 1$ .

$y = \frac{x}{e} + \frac{- 1}{e}$

Этап 2.3.2.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{x}{e} - \frac{1}{e}$

Этап 2.3.3

Изменим порядок членов.

$y = \frac{1}{e} x - \frac{1}{e}$

Этап 3