Математический анализ Примеры

$\int \sin (x) \cdot \sqrt{1 - \cos (x)} d x$

Этап 1

Пусть $u = 1 - \cos (x)$ . Тогда $d u = \sin (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 1 - \cos (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $1 - \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $1 - \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cos (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.1.3.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$0 - - \sin (x)$

Этап 1.1.3.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$0 + 1 \sin (x)$

Этап 1.1.3.4

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$0 + \sin (x)$

Этап 1.1.4

Добавим $0$ и $\sin (x)$ .

$\sin (x)$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \sqrt{u} d u$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 4

Заменим все вхождения $u$ на $1 - \cos (x)$ .

$\frac{2}{3} {(1 - \cos (x))}^{\frac{3}{2}} + C$