Математический анализ Примеры

$\int \sin (π x) \cos (π x) d x$

Этап 1

Пусть $u_{2} = \sin (π x)$ . Тогда $d u_{2} = π \cos (π x) d x$ , следовательно $\frac{1}{π} d u_{2} = \cos (π x) d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{2} = \sin (π x)$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\sin (π x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (π x)]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = π x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $π x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [π x]$

Этап 1.1.2.2

Производная $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [π x]$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $π x$ .

$\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $π$ является константой относительно $x$ , производная $π x$ по $x$ равна $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\cos (π x) (π \cdot 1)$

Этап 1.1.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Умножим $π$ на $1$ .

$\cos (π x) π$

Этап 1.1.3.3.2

Изменим порядок множителей в $\cos (π x) π$ .

$π \cos (π x)$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\int u_{2} \frac{1}{π} d u_{2}$

Этап 2

Объединим $u_{2}$ и $\frac{1}{π}$ .

$\int \frac{u_{2}}{π} d u_{2}$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{π}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{π}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{π} \int u_{2} d u_{2}$

Этап 4

По правилу степени интеграл $u_{2}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{π} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $\frac{1}{π} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ в виде $\frac{1}{π} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $\frac{1}{π}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{π \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

Этап 5.2.2

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$\frac{1}{2 π} {u_{2}}^{2} + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\sin (π x)$ .

$\frac{1}{2 π} \sin^{2} (π x) + C$