Математический анализ Примеры

$\int \sin (8 x - 4) d x$

Этап 1

Пусть $u = 8 x - 4$ . Тогда $d u = 8 d x$ , следовательно $\frac{1}{8} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 8 x - 4$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $8 x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [8 x - 4]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $8 x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $8$ на $1$ .

$8 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$8 + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $8$ и $0$ .

$8$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \sin (u) \frac{1}{8} d u$

Этап 2

Объединим $\sin (u)$ и $\frac{1}{8}$ .

$\int \frac{\sin (u)}{8} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{8}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{8}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{8} \int \sin (u) d u$

Этап 4

Интеграл $\sin (u)$ по $u$ имеет вид $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{8} (- \cos (u) + C)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим.

$\frac{1}{8} (- \cos (u)) + C$

Этап 5.2

Объединим $\frac{1}{8}$ и $\cos (u)$ .

$- \frac{\cos (u)}{8} + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $8 x - 4$ .

$- \frac{\cos (8 x - 4)}{8} + C$

Этап 7

Изменим порядок членов.

$- \frac{1}{8} \cos (8 x - 4) + C$