Математический анализ Примеры

$\int_{a}^{b} 5 e^{2 t} d t$

Этап 1

Поскольку $5$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int_{a}^{b} e^{2 t} d t$

Этап 2

Пусть $u = 2 t$ . Тогда $d u = 2 d t$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 2 t$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Этап 2.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 2.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $t$ в $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 a$

Этап 2.3

Подставим верхнее предельное значение вместо $t$ в $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 b$

Этап 2.4

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 2 a$

$u_{upper} = 2 b$

Этап 2.5

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$5 \int_{2 a}^{2 b} e^{u} \frac{1}{2} d u$

Этап 3

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$5 \int_{2 a}^{2 b} \frac{e^{u}}{2} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$5 (\frac{1}{2} \int_{2 a}^{2 b} e^{u} d u)$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $5$ .

$\frac{5}{2} \int_{2 a}^{2 b} e^{u} d u$

Этап 6

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\frac{5}{2} e^{u}]_{2 a}^{2 b}$

Этап 7

Найдем значение $e^{u}$ в $2 b$ и в $2 a$ .

$\frac{5}{2} (e^{2 b} - e^{2 a})$