Математический анализ Примеры

$\int arccsc (x) d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = arccsc (x)$ и $d v = 1$ .

$arccsc (x) x - \int x (- \frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}) d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}$ .

$arccsc (x) x - \int - \frac{x}{x \sqrt{x^{2} - 1}} d x$

Этап 2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель.

$arccsc (x) x - \int - \frac{x}{x \sqrt{x^{2} - 1}} d x$

Этап 2.2.2

Перепишем это выражение.

$arccsc (x) x - \int - \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$arccsc (x) x - - \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$arccsc (x) x + 1 \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$

Этап 4.2

Умножим $\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$ на $1$ .

$arccsc (x) x + \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$

Этап 5

Пусть $x = \sec (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $\sec (t) \tan (t)$ положительно.

$arccsc (x) x + \int \frac{1}{\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим $\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим формулу Пифагора.

$arccsc (x) x + \int \frac{1}{\sqrt{\tan^{2} (t)}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 6.1.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$arccsc (x) x + \int \frac{1}{\tan (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $\tan (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $\tan (t)$ из $\sec (t) \tan (t)$ .

$arccsc (x) x + \int \frac{1}{\tan (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t$

Этап 6.2.2

Сократим общий множитель.

$arccsc (x) x + \int \frac{1}{\tan (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t$

Этап 6.2.3

Перепишем это выражение.

$arccsc (x) x + \int \sec (t) d t$

Этап 7

Интеграл $\sec (t)$ по $t$ имеет вид $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$arccsc (x) x + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $t$ на $arcsec (x)$ .

$arccsc (x) x + \ln (| \sec (arcsec (x)) + \tan (arcsec (x)) |) + C$