Математический анализ Примеры

$π \int_{0}^{π} \sin^{2} (x) d x$

Этап 1

Используем формулу половинного угла для записи $\sin^{2} (x)$ в виде $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$π \int_{0}^{π} \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

Этап 2

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$π (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 - \cos (2 x) d x)$

Этап 3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $π$ .

$\frac{π}{2} \int_{0}^{π} 1 - \cos (2 x) d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{π}{2} (\int_{0}^{π} d x + \int_{0}^{π} - \cos (2 x) d x)$

Этап 5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{π}{2} (x]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} - \cos (2 x) d x)$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{π}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \cos (2 x) d x)$

Этап 7

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 7.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 7.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 7.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Этап 7.3

Умножим $2$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 7.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 π$

Этап 7.5

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

Этап 7.6

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\frac{π}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{2 π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Этап 8

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Этап 9

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{π}{2} (x]_{0}^{π} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u))$

Этап 10

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$\frac{π}{2} (x]_{0}^{π} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π})$

Этап 11

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем значение $x$ в $π$ и в $0$ .

$\frac{π}{2} ((π) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π})$

Этап 11.2

Найдем значение $\sin (u)$ в $2 π$ и в $0$ .

$\frac{π}{2} ((π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0)))$

Этап 11.3

Добавим $π$ и $0$ .

$\frac{π}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0)))$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{π}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0))$

Этап 12.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{π}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) + 0))$

Этап 12.3

Добавим $\sin (2 π)$ и $0$ .

$\frac{π}{2} (π - \frac{1}{2} \sin (2 π))$

Этап 12.4

Объединим $\sin (2 π)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{π}{2} (π - \frac{\sin (0)}{2})$

Этап 13.1.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{π}{2} (π - \frac{0}{2})$

Этап 13.2

Разделим $0$ на $2$ .

$\frac{π}{2} (π - 0)$

Этап 13.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{π}{2} (π + 0)$

Этап 13.4

Добавим $π$ и $0$ .

$\frac{π}{2} π$

Этап 13.5

Умножим $\frac{π}{2} π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.1

Объединим $\frac{π}{2}$ и $π$ .

$\frac{π π}{2}$

Этап 13.5.2

Возведем $π$ в степень $1$ .

$\frac{π^{1} π}{2}$

Этап 13.5.3

Возведем $π$ в степень $1$ .

$\frac{π^{1} π^{1}}{2}$

Этап 13.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{π^{1 + 1}}{2}$

Этап 13.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{π^{2}}{2}$

Этап 14

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{π^{2}}{2}$

Десятичная форма:

$4.93480220 \dots$