Математический анализ Примеры

$\int (10 x^{4} - 4) \cos (2 x^{5} - 4 x) d x$

Этап 1

Пусть $u = 2 x^{5} - 4 x$ . Тогда $d u = (10 x^{4} - 4) d x$ , следовательно $\frac{1}{10 x^{4} - 4} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 2 x^{5} - 4 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $2 x^{5} - 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{5} - 4 x]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $2 x^{5} - 4 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{5}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$2 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $5$ на $2$ .

$10 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Этап 1.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 x^{4} - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$10 x^{4} - 4 \cdot 1$

Этап 1.1.4.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$10 x^{4} - 4$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \cos (u) d u$

Этап 2

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$\sin (u) + C$

Этап 3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x^{5} - 4 x$ .

$\sin (2 x^{5} - 4 x) + C$