Математический анализ Примеры

$\int (x^{2} - 1) e^{x} d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x^{2} - 1$ и $d v = e^{x}$ .

$(x^{2} - 1) e^{x} - \int e^{x} (2 x) d x$

Этап 2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$(x^{2} - 1) e^{x} - (2 \int e^{x} (x) d x)$

Этап 3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$(x^{2} - 1) e^{x} - 2 \int e^{x} (x) d x$

Этап 4

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{x}$ .

$(x^{2} - 1) e^{x} - 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Этап 5

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$(x^{2} - 1) e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C))$

Этап 6

Перепишем $(x^{2} - 1) e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C))$ в виде $x^{2} e^{x} - e^{x} - 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$ .

$x^{2} e^{x} - e^{x} - 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$