Математический анализ Примеры

$\int \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} d x$

Этап 1

Пусть $u = \frac{1}{x}$ . Тогда $d u = - \frac{1}{x^{2}} d x$ , следовательно $- d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \frac{1}{x}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 1.1.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

Этап 1.1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{- e^{u}}{\frac{1}{u}} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int - \frac{e^{u}}{\frac{1}{u}} d u$

Этап 2.2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{u}$ .

$\int - e^{u} u d u$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int e^{u} u d u$

Этап 4

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int w d v = w v - \int v d w$ , где $w = u$ и $dv = e^{u}$ .

$- (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

Этап 5

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$- (u e^{u} - (e^{u} + C))$

Этап 6

Упростим.

$- (u e^{u} - e^{u}) + C$

Этап 7

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{1}{x}$ .

$- (\frac{1}{x} e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}}) + C$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{x}$ и $e^{\frac{1}{x}}$ .

$- (\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} - e^{\frac{1}{x}}) + C$

Этап 8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} - - e^{\frac{1}{x}} + C$

Этап 8.3

Умножим $- - e^{\frac{1}{x}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + 1 e^{\frac{1}{x}} + C$

Этап 8.3.2

Умножим $e^{\frac{1}{x}}$ на $1$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}} + C$