Математический анализ Примеры

$\log_{b} (x + 3) + \log_{b} (x) = \log_{b} (54)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{b} ((x + 3) x) = \log_{b} (54)$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{b} (x \cdot x + 3 x) = \log_{b} (54)$

Этап 1.3

Умножим $x$ на $x$ .

$\log_{b} (x^{2} + 3 x) = \log_{b} (54)$

Этап 2

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$x^{2} + 3 x = 54$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $54$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 3 x - 54 = 0$

Этап 3.2

Разложим $x^{2} + 3 x - 54$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 54$ , а сумма — $3$ .

$- 6, 9$

Этап 3.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 6) (x + 9) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 9 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $x - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Этап 3.4.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 3.5

Приравняем $x + 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $x + 9$ к $0$ .

$x + 9 = 0$

Этап 3.5.2

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$x = - 9$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 6) (x + 9) = 0$ верно.

$x = 6, - 9$