Математический анализ Примеры

Вычислим интеграл интеграл 4arccos(x) по x
Этап 1
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 2
Проинтегрируем по частям, используя формулу , где и .
Этап 3
Объединим и .
Этап 4
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 5
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1
Умножим на .
Этап 5.2
Умножим на .
Этап 6
Пусть . Тогда , следовательно . Перепишем, используя и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.1
Пусть . Найдем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.1.1
Дифференцируем .
Этап 6.1.2
Продифференцируем.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.1.2.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 6.1.2.2
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 6.1.3
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.1.3.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 6.1.3.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 6.1.3.3
Умножим на .
Этап 6.1.4
Вычтем из .
Этап 6.2
Переформулируем задачу с помощью и .
Этап 7
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.1
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 7.2
Умножим на .
Этап 7.3
Перенесем влево от .
Этап 8
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 9
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 10
Применим основные правила для показателей степени.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.1
С помощью запишем в виде .
Этап 10.2
Вынесем из знаменателя, возведя в степень.
Этап 10.3
Перемножим экспоненты в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.3.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 10.3.2
Объединим и .
Этап 10.3.3
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 11
По правилу степени интеграл по имеет вид .
Этап 12
Перепишем в виде .
Этап 13
Заменим все вхождения на .
Этап 14
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 14.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 14.2
Умножим на .
Этап 14.3
Изменим порядок множителей в .