Математический анализ Примеры

$\int_{4}^{7} \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1} d t$

Этап 1

Пусть $u = \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ . Тогда $d u = 2 d t$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ .

$\frac{d}{d t} [\sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}]$

Этап 1.1.2

Перепишем $\frac{d}{d t} [\sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}]$ в виде $\frac{d}{d t} [2 t + 1]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Перепишем $4 t^{2}$ в виде ${(2 t)}^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [\sqrt{{(2 t)}^{2} + 4 t + 1}]$

Этап 1.1.2.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [\sqrt{{(2 t)}^{2} + 4 t + 1^{2}}]$

Этап 1.1.2.1.3

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 t = 2 \cdot (2 t) \cdot 1$

Этап 1.1.2.1.4

Перепишем многочлен.

$\frac{d}{d t} [\sqrt{{(2 t)}^{2} + 2 \cdot (2 t) \cdot 1 + 1^{2}}]$

Этап 1.1.2.1.5

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = 2 t$ и $b = 1$ .

$\frac{d}{d t} [\sqrt{{(2 t + 1)}^{2}}]$

Этап 1.1.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{d}{d t} [2 t + 1]$

Этап 1.1.3

По правилу суммы производная $2 t + 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]$

Этап 1.1.4

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

Этап 1.1.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]$

Этап 1.1.6

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d t} [1]$

Этап 1.1.7

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$2 + 0$

Этап 1.1.8

Добавим $2$ и $0$ .

$2$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $t$ в $u = \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ .

$u_{lower} = \sqrt{4 \cdot 4^{2} + 4 \cdot 4 + 1}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $4$ на $4^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $4$ на $4^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1.1

Возведем $4$ в степень $1$ .

$u_{lower} = \sqrt{4^{1} \cdot 4^{2} + 4 \cdot 4 + 1}$

Этап 1.3.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$u_{lower} = \sqrt{4^{1 + 2} + 4 \cdot 4 + 1}$

Этап 1.3.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$u_{lower} = \sqrt{4^{3} + 4 \cdot 4 + 1}$

Этап 1.3.2

Возведем $4$ в степень $3$ .

$u_{lower} = \sqrt{64 + 4 \cdot 4 + 1}$

Этап 1.3.3

Умножим $4$ на $4$ .

$u_{lower} = \sqrt{64 + 16 + 1}$

Этап 1.3.4

Добавим $64$ и $16$ .

$u_{lower} = \sqrt{80 + 1}$

Этап 1.3.5

Добавим $80$ и $1$ .

$u_{lower} = \sqrt{81}$

Этап 1.3.6

Перепишем $81$ в виде $9^{2}$ .

$u_{lower} = \sqrt{9^{2}}$

Этап 1.3.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$u_{lower} = 9$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $t$ в $u = \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ .

$u_{upper} = \sqrt{4 \cdot 7^{2} + 4 \cdot 7 + 1}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Возведем $7$ в степень $2$ .

$u_{upper} = \sqrt{4 \cdot 49 + 4 \cdot 7 + 1}$

Этап 1.5.2

Умножим $4$ на $49$ .

$u_{upper} = \sqrt{196 + 4 \cdot 7 + 1}$

Этап 1.5.3

Умножим $4$ на $7$ .

$u_{upper} = \sqrt{196 + 28 + 1}$

Этап 1.5.4

Добавим $196$ и $28$ .

$u_{upper} = \sqrt{224 + 1}$

Этап 1.5.5

Добавим $224$ и $1$ .

$u_{upper} = \sqrt{225}$

Этап 1.5.6

Перепишем $225$ в виде $15^{2}$ .

$u_{upper} = \sqrt{15^{2}}$

Этап 1.5.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$u_{upper} = 15$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 15$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{9}^{15} u \frac{1}{2} d u$

Этап 2

Объединим $u$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int_{9}^{15} \frac{u}{2} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int_{9}^{15} u d u$

Этап 4

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{2} u^{2}]_{9}^{15}$

Этап 5

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение $\frac{1}{2} u^{2}$ в $15$ и в $9$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 15^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 9^{2})$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возведем $15$ в степень $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 225 - \frac{1}{2} \cdot 9^{2})$

Этап 5.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $225$ .

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} - \frac{1}{2} \cdot 9^{2})$

Этап 5.2.3

Возведем $9$ в степень $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} - \frac{1}{2} \cdot 81)$

Этап 5.2.4

Умножим $81$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} - 81 (\frac{1}{2}))$

Этап 5.2.5

Объединим $- 81$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} + \frac{- 81}{2})$

Этап 5.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} - \frac{81}{2})$

Этап 5.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{225 - 81}{2}$

Этап 5.2.8

Вычтем $81$ из $225$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{144}{2}$

Этап 5.2.9

Сократим общий множитель $144$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.9.1

Вынесем множитель $2$ из $144$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 72}{2}$

Этап 5.2.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 72}{2 (1)}$

Этап 5.2.9.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 72}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.9.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{72}{1}$

Этап 5.2.9.2.4

Разделим $72$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 72$

Этап 5.2.10

Объединим $\frac{1}{2}$ и $72$ .

$\frac{72}{2}$

Этап 5.2.11

Сократим общий множитель $72$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.11.1

Вынесем множитель $2$ из $72$ .

$\frac{2 \cdot 36}{2}$

Этап 5.2.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.11.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 36}{2 (1)}$

Этап 5.2.11.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 36}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.11.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{36}{1}$

Этап 5.2.11.2.4

Разделим $36$ на $1$ .

$36$

Этап 6