Математический анализ Примеры

$\int 4 \cos^{3} (x) d x$

Этап 1

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int \cos^{3} (x) d x$

Этап 2

Вынесем $\cos^{2} (x)$ за скобки.

$4 \int \cos^{2} (x) \cos (x) d x$

Этап 3

Используя формулы Пифагора, запишем $\cos^{2} (x)$ в виде $1 - \sin^{2} (x)$ .

$4 \int (1 - \sin^{2} (x)) \cos (x) d x$

Этап 4

Пусть $u = \sin (x)$ . Тогда $d u = \cos (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = \sin (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 4.1.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$4 \int 1 - u^{2} d u$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$4 (\int d u + \int - u^{2} d u)$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$4 (u + C + \int - u^{2} d u)$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$4 (u + C - \int u^{2} d u)$

Этап 8

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$4 (u + C - (\frac{1}{3} u^{3} + C))$

Этап 9

Упростим.

$4 (u - \frac{1}{3} u^{3}) + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$4 (\sin (x) - \frac{1}{3} \sin^{3} (x)) + C$