Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{2} (2 - t) \sqrt{t} d t$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{t}$ в виде $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{2} (2 - t) t^{\frac{1}{2}} d t$

Этап 2

Развернем $(2 - t) t^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{0}^{2} 2 t^{\frac{1}{2}} - t \cdot t^{\frac{1}{2}} d t$

Этап 2.2

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\int_{0}^{2} 2 t^{\frac{1}{2}} - (t \cdot t^{\frac{1}{2}}) d t$

Этап 2.3

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\int_{0}^{2} 2 t^{\frac{1}{2}} - (t^{1} t^{\frac{1}{2}}) d t$

Этап 2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{0}^{2} 2 t^{\frac{1}{2}} - t^{1 + \frac{1}{2}} d t$

Этап 2.5

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int_{0}^{2} 2 t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} d t$

Этап 2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int_{0}^{2} 2 t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{2 + 1}{2}} d t$

Этап 2.7

Добавим $2$ и $1$ .

$\int_{0}^{2} 2 t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{3}{2}} d t$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{2} 2 t^{\frac{1}{2}} d t + \int_{0}^{2} - t^{\frac{3}{2}} d t$

Этап 4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{0}^{2} t^{\frac{1}{2}} d t + \int_{0}^{2} - t^{\frac{3}{2}} d t$

Этап 5

По правилу степени интеграл $t^{\frac{1}{2}}$ по $t$ имеет вид $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - t^{\frac{3}{2}} d t$

Этап 6

Объединим $\frac{2}{3}$ и $t^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - t^{\frac{3}{2}} d t$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{2}) - \int_{0}^{2} t^{\frac{3}{2}} d t$

Этап 8

По правилу степени интеграл $t^{\frac{3}{2}}$ по $t$ имеет вид $\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{2}) - (\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}]_{0}^{2})$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{2}{5}$ и $t^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{2}) - (\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}]_{0}^{2})$

Этап 9.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Найдем значение $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ в $2$ и в $0$ .

$2 ((\frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}]_{0}^{2})$

Этап 9.2.2

Найдем значение $\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}$ в $2$ и в $0$ .

$2 (\frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 9.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Умножим $2$ на $2^{\frac{3}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1.1

Умножим $2$ на $2^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$2 (\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 9.2.3.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 (\frac{2^{1 + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 9.2.3.1.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$2 (\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 9.2.3.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 (\frac{2^{\frac{2 + 3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 9.2.3.1.4

Добавим $2$ и $3$ .

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 9.2.3.2

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 9.2.3.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 9.2.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.4.1

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 9.2.3.4.2

Перепишем это выражение.

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 9.2.3.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 9.2.3.6

Умножим $2$ на $0$ .

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{0}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 9.2.3.7

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.7.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 9.2.3.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.7.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 9.2.3.7.2.2

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 9.2.3.7.2.3

Перепишем это выражение.

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{0}{1}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 9.2.3.7.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - 0) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 9.2.3.8

Умножим $- 1$ на $0$ .

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} + 0) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 9.2.3.9

Добавим $\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3}$ и $0$ .

$2 \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 9.2.3.10

Объединим $2$ и $\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 9.2.3.11

Умножим $2$ на $2^{\frac{5}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.11.1

Умножим $2$ на $2^{\frac{5}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.11.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 9.2.3.11.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2^{1 + \frac{5}{2}}}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 9.2.3.11.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{5}{2}}}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 9.2.3.11.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2^{\frac{2 + 5}{2}}}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 9.2.3.11.4

Добавим $2$ и $5$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 9.2.3.12

Умножим $2$ на $2^{\frac{5}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.12.1

Умножим $2$ на $2^{\frac{5}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.12.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 9.2.3.12.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{1 + \frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 9.2.3.12.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 9.2.3.12.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{2 + 5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 9.2.3.12.4

Добавим $2$ и $5$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 9.2.3.13

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 9.2.3.14

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5})$

Этап 9.2.3.15

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.15.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5})$

Этап 9.2.3.15.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{5}}{5})$

Этап 9.2.3.16

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0}{5})$

Этап 9.2.3.17

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} - \frac{0}{5})$

Этап 9.2.3.18

Сократим общий множитель $0$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.18.1

Вынесем множитель $5$ из $0$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} - \frac{5 (0)}{5})$

Этап 9.2.3.18.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.18.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Этап 9.2.3.18.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Этап 9.2.3.18.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} - \frac{0}{1})$

Этап 9.2.3.18.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} - 0)$

Этап 9.2.3.19

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} + 0)$

Этап 9.2.3.20

Добавим $\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5}$ и $0$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{7}{2}}}{5}$

Этап 9.2.3.21

Чтобы записать $\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{2^{\frac{7}{2}}}{5}$

Этап 9.2.3.22

Чтобы записать $- \frac{2^{\frac{7}{2}}}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 9.2.3.23

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $15$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.23.1

Умножим $\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3}$ на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}} \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 9.2.3.23.2

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}} \cdot 5}{15} - \frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 9.2.3.23.3

Умножим $\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}} \cdot 5}{15} - \frac{2^{\frac{7}{2}} \cdot 3}{5 \cdot 3}$

Этап 9.2.3.23.4

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}} \cdot 5}{15} - \frac{2^{\frac{7}{2}} \cdot 3}{15}$

Этап 9.2.3.24

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2^{\frac{7}{2}} \cdot 5 - 2^{\frac{7}{2}} \cdot 3}{15}$

Этап 9.2.3.25

Перенесем $5$ влево от $2^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{5 \cdot 2^{\frac{7}{2}} - 2^{\frac{7}{2}} \cdot 3}{15}$

Этап 9.2.3.26

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{5 \cdot 2^{\frac{7}{2}} - 3 \cdot 2^{\frac{7}{2}}}{15}$

Этап 9.2.3.27

Вычтем $3 \cdot 2^{\frac{7}{2}}$ из $5 \cdot 2^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{7}{2}}}{15}$

Этап 9.2.3.28

Умножим $2$ на $2^{\frac{7}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.28.1

Умножим $2$ на $2^{\frac{7}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.28.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{7}{2}}}{15}$

Этап 9.2.3.28.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2^{1 + \frac{7}{2}}}{15}$

Этап 9.2.3.28.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{7}{2}}}{15}$

Этап 9.2.3.28.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2^{\frac{2 + 7}{2}}}{15}$

Этап 9.2.3.28.4

Добавим $2$ и $7$ .

$\frac{2^{\frac{9}{2}}}{15}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2^{\frac{9}{2}}}{15}$

Десятичная форма:

$1.50849446 \dots$

Этап 11