Математический анализ Примеры

$\int 8 x \ln (2 x) d x$

Этап 1

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$8 \int x \ln (2 x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (2 x)$ и $d v = x$ .

$8 (\ln (2 x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$8 (\ln (2 x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Этап 3.2

Объединим $\ln (2 x)$ и $\frac{x^{2}}{2}$ .

$8 (\frac{\ln (2 x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Этап 3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$8 (\frac{\ln (2 x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Этап 3.4

Умножим $\frac{x^{2}}{2}$ на $\frac{1}{x}$ .

$8 (\frac{\ln (2 x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2 x} d x)$

Этап 3.5

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$8 (\frac{\ln (2 x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{2 x} d x)$

Этап 3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$8 (\frac{\ln (2 x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Этап 3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$8 (\frac{\ln (2 x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Этап 3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$8 (\frac{\ln (2 x) x^{2}}{2} - \int \frac{x}{2} d x)$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$8 (\frac{\ln (2 x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x))$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$8 (\frac{\ln (2 x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$8 (\frac{\ln (2 x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C))$

Этап 6.2

Перепишем $8 (\frac{\ln (2 x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C))$ в виде $8 (\frac{\ln (2 x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C$ .

$8 (\frac{\ln (2 x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C$

Этап 6.3

Изменим порядок членов.

$8 (\frac{1}{2} \ln (2 x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2}) + C$