Математический анализ Примеры

$\int_{- 8}^{0} x e^{- 4 x} d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{- 4 x}$ .

$x (- \frac{1}{4} e^{- 4 x})]_{- 8}^{0} - \int_{- 8}^{0} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $e^{- 4 x}$ и $\frac{1}{4}$ .

$x (- \frac{e^{- 4 x}}{4})]_{- 8}^{0} - \int_{- 8}^{0} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x$

Этап 2.2

Объединим $x$ и $\frac{e^{- 4 x}}{4}$ .

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} - \int_{- 8}^{0} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x$

Этап 3

Поскольку $- \frac{1}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- \frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} - (- \frac{1}{4} \int_{- 8}^{0} e^{- 4 x} d x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + 1 (\frac{1}{4} \int_{- 8}^{0} e^{- 4 x} d x)$

Этап 4.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + \frac{1}{4} \int_{- 8}^{0} e^{- 4 x} d x$

Этап 5

Пусть $u = - 4 x$ . Тогда $d u = - 4 d x$ , следовательно $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = - 4 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Этап 5.1.2

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Этап 5.1.4

Умножим $- 4$ на $1$ .

$- 4$

Этап 5.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = - 4 x$ .

$u_{lower} = - 4 \cdot - 8$

Этап 5.3

Умножим $- 4$ на $- 8$ .

$u_{lower} = 32$

Этап 5.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = - 4 x$ .

$u_{upper} = - 4 \cdot 0$

Этап 5.5

Умножим $- 4$ на $0$ .

$u_{upper} = 0$

Этап 5.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 32$

$u_{upper} = 0$

Этап 5.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + \frac{1}{4} \int_{32}^{0} e^{u} \frac{1}{- 4} d u$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + \frac{1}{4} \int_{32}^{0} e^{u} (- \frac{1}{4}) d u$

Этап 6.2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + \frac{1}{4} \int_{32}^{0} - \frac{e^{u}}{4} d u$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + \frac{1}{4} (- \int_{32}^{0} \frac{e^{u}}{4} d u)$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + \frac{1}{4} (- (\frac{1}{4} \int_{32}^{0} e^{u} d u))$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int_{32}^{0} e^{u} d u$

Этап 9.2

Умножим $4$ на $4$ .

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} - \frac{1}{16} \int_{32}^{0} e^{u} d u$

Этап 10

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} - \frac{1}{16} e^{u}]_{32}^{0}$

Этап 11

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем значение $- \frac{x e^{- 4 x}}{4}$ в $0$ и в $- 8$ .

$(- \frac{0 e^{- 4 \cdot 0}}{4}) + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} e^{u}]_{32}^{0}$

Этап 11.2

Найдем значение $e^{u}$ в $0$ и в $32$ .

$(- \frac{0 e^{- 4 \cdot 0}}{4}) + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Этап 11.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Умножим $- 4$ на $0$ .

$- \frac{0 e^{0}}{4} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Этап 11.3.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$- \frac{0 \cdot 1}{4} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Этап 11.3.3

Умножим $0$ на $1$ .

$- \frac{0}{4} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Этап 11.3.4

Сократим общий множитель $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.4.1

Вынесем множитель $4$ из $0$ .

$- \frac{4 (0)}{4} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Этап 11.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.4.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$- \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Этап 11.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Этап 11.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{0}{1} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Этап 11.3.4.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- 0 + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Этап 11.3.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$0 + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Этап 11.3.6

Умножим $- 4$ на $- 8$ .

$0 + \frac{- 8 e^{32}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Этап 11.3.7

Сократим общий множитель $- 8$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.7.1

Вынесем множитель $4$ из $- 8 e^{32}$ .

$0 + \frac{4 (- 2 e^{32})}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Этап 11.3.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.7.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$0 + \frac{4 (- 2 e^{32})}{4 (1)} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Этап 11.3.7.2.2

Сократим общий множитель.

$0 + \frac{4 (- 2 e^{32})}{4 \cdot 1} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Этап 11.3.7.2.3

Перепишем это выражение.

$0 + \frac{- 2 e^{32}}{1} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Этап 11.3.7.2.4

Разделим $- 2 e^{32}$ на $1$ .

$0 - 2 e^{32} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Этап 11.3.8

Вычтем $2 e^{32}$ из $0$ .

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Этап 11.3.9

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} (1 - e^{32})$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} \cdot 1 - \frac{1}{16} (- e^{32})$

Этап 12.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} - \frac{1}{16} (- e^{32})$

Этап 12.1.3

Умножим $- \frac{1}{16} (- e^{32})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} + 1 (\frac{1}{16}) e^{32}$

Этап 12.1.3.2

Умножим $\frac{1}{16}$ на $1$ .

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} + \frac{1}{16} e^{32}$

Этап 12.1.3.3

Объединим $\frac{1}{16}$ и $e^{32}$ .

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} + \frac{e^{32}}{16}$

Этап 12.2

Чтобы записать $- 2 e^{32}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{16}{16}$ .

$- 2 e^{32} \cdot \frac{16}{16} + \frac{e^{32}}{16} - \frac{1}{16}$

Этап 12.3

Объединим $- 2 e^{32}$ и $\frac{16}{16}$ .

$\frac{- 2 e^{32} \cdot 16}{16} + \frac{e^{32}}{16} - \frac{1}{16}$

Этап 12.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 2 e^{32} \cdot 16 + e^{32}}{16} - \frac{1}{16}$

Этап 12.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 2 e^{32} \cdot 16 + e^{32} - 1}{16}$

Этап 12.6

Умножим $16$ на $- 2$ .

$\frac{- 32 e^{32} + e^{32} - 1}{16}$

Этап 12.7

Добавим $- 32 e^{32}$ и $e^{32}$ .

$\frac{- 31 e^{32} - 1}{16}$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{- 31 e^{32} - 1}{16}$

Десятичная форма:

$- 152990735353944$

Этап 14