Математический анализ Примеры

$\int 24 t^{7} e^{- t^{8}} d t$

Этап 1

Поскольку $24$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $24$ из-под знака интеграла.

$24 \int t^{7} e^{- t^{8}} d t$

Этап 2

Пусть $u_{1} = t^{2}$ . Тогда $d u_{1} = 2 t d t$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = t d t$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u_{1} = t^{2}$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 t$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$24 \int {\sqrt{u_{1}}}^{6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем ${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ в виде ${u_{1}}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u_{1}}$ в виде ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$24 \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$24 \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $6$ .

$24 \int {u_{1}}^{\frac{6}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.1.4

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$24 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$24 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$24 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$24 \int {u_{1}}^{\frac{3}{1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.1.4.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.2

Перепишем ${\sqrt{u_{1}}}^{8}$ в виде ${u_{1}}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u_{1}}$ в виде ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $8$ .

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{8}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.2.4

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{4}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.2.4.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${u_{1}}^{3}$ .

$24 \int \frac{{u_{1}}^{3}}{2} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Этап 3.4

Объединим $\frac{{u_{1}}^{3}}{2}$ и $e^{- {u_{1}}^{4}}$ .

$24 \int \frac{{u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}}}{2} d u_{1}$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$24 (\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1})$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $24$ .

$\frac{24}{2} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $24$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $24$ .

$\frac{2 \cdot 12}{2} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Этап 5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 12}{2 (1)} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 1} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Этап 5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{12}{1} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Этап 5.2.2.4

Разделим $12$ на $1$ .

$12 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Этап 6

Пусть $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Тогда $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Этап 6.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u_{1}$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$12 \int u_{2} e^{- {\sqrt{u_{2}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем ${\sqrt{u_{2}}}^{4}$ в виде ${u_{2}}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u_{2}}$ в виде ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$12 \int u_{2} e^{- {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 7.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 7.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 7.1.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 7.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 7.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 7.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 7.1.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $u_{2}$ .

$12 \int \frac{u_{2}}{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Этап 7.3

Объединим $\frac{u_{2}}{2}$ и $e^{- {u_{2}}^{2}}$ .

$12 \int \frac{u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}}}{2} d u_{2}$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$12 (\frac{1}{2} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $12$ .

$\frac{12}{2} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Этап 9.2

Сократим общий множитель $12$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Этап 9.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2 (1)} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Этап 9.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Этап 9.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{6}{1} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Этап 9.2.2.4

Разделим $6$ на $1$ .

$6 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Этап 10

Пусть $u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ . Тогда $d u_{3} = - 2 u_{2} d u_{2}$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u_{3} = u_{2} d u_{2}$ . Перепишем, используя $u_{3}$ и $d$ $u_{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Пусть $u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ . Найдем $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Дифференцируем $- {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [- {u_{2}}^{2}]$

Этап 10.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $u_{2}$ , производная $- {u_{2}}^{2}$ по $u_{2}$ равна $- \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$ .

$- \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$

Этап 10.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- (2 u_{2})$

Этап 10.1.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 u_{2}$

Этап 10.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{3}$ и $d u_{3}$ .

$6 \int e^{u_{3}} \frac{1}{- 2} d u_{3}$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$6 \int e^{u_{3}} (- \frac{1}{2}) d u_{3}$

Этап 11.2

Объединим $e^{u_{3}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$6 \int - \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3}$

Этап 12

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{3}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$6 (- \int \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3})$

Этап 13

Умножим $- 1$ на $6$ .

$- 6 \int \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3}$

Этап 14

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{3}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- 6 (\frac{1}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3})$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 6$ .

$\frac{- 6}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Этап 15.2

Сократим общий множитель $- 6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Этап 15.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Этап 15.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Этап 15.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 3}{1} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Этап 15.2.2.4

Разделим $- 3$ на $1$ .

$- 3 \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Этап 16

Интеграл $e^{u_{3}}$ по $u_{3}$ имеет вид $e^{u_{3}}$ .

$- 3 (e^{u_{3}} + C)$

Этап 17

Упростим.

$- 3 e^{u_{3}} + C$

Этап 18

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $- {u_{2}}^{2}$ .

$- 3 e^{- {u_{2}}^{2}} + C$

Этап 18.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на ${u_{1}}^{2}$ .

$- 3 e^{- {({u_{1}}^{2})}^{2}} + C$

Этап 18.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $t^{2}$ .

$- 3 e^{- {({(t^{2})}^{2})}^{2}} + C$