Математический анализ Примеры

$\int 2 \sin (x) \cos (x) d x$

Этап 1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int \sin (x) \cos (x) d x$

Этап 2

Пусть $u = \sin (x)$ . Тогда $d u = \cos (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = \sin (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 2.1.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$2 \int u d u$

Этап 3

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $2 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ в виде $2 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$ .

$2 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} u^{2} + C$

Этап 4.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2} u^{2} + C$

Этап 4.2.2.2

Перепишем это выражение.

$1 u^{2} + C$

Этап 4.2.3

Умножим $u^{2}$ на $1$ .

$u^{2} + C$

Этап 5

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$\sin^{2} (x) + C$