Математический анализ Примеры

$\int_{- 3}^{0} 1 + \sqrt{9 - x^{2}} d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 3}^{0} d x + \int_{- 3}^{0} \sqrt{9 - x^{2}} d x$

Этап 2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$x]_{- 3}^{0} + \int_{- 3}^{0} \sqrt{9 - x^{2}} d x$

Этап 3

Пусть $x = 3 \sin (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = 3 \cos (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $3 \cos (t)$ положительно.

$x]_{- 3}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Этап 4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Применим правило умножения к $3 \sin (t)$ .

$x]_{- 3}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Этап 4.1.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$x]_{- 3}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Этап 4.1.1.3

Умножим $9$ на $- 1$ .

$x]_{- 3}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Этап 4.1.2

Вынесем множитель $9$ из $9$ .

$x]_{- 3}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Этап 4.1.3

Вынесем множитель $9$ из $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$x]_{- 3}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Этап 4.1.4

Вынесем множитель $9$ из $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$x]_{- 3}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Этап 4.1.5

Применим формулу Пифагора.

$x]_{- 3}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \sqrt{9 \cos^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Этап 4.1.6

Перепишем $9 \cos^{2} (t)$ в виде ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$x]_{- 3}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Этап 4.1.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x]_{- 3}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} 3 \cos (t) (3 \cos (t)) d t$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $3$ на $3$ .

$x]_{- 3}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} 9 \cos (t) \cos (t) d t$

Этап 4.2.2

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$x]_{- 3}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} 9 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Этап 4.2.3

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$x]_{- 3}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} 9 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Этап 4.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x]_{- 3}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} 9 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Этап 4.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x]_{- 3}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} 9 \cos^{2} (t) d t$

Этап 5

Поскольку $9$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $9$ из-под знака интеграла.

$x]_{- 3}^{0} + 9 \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \cos^{2} (t) d t$

Этап 6

Используем формулу половинного угла для записи $\cos^{2} (t)$ в виде $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$x]_{- 3}^{0} + 9 \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$x]_{- 3}^{0} + 9 (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{0} 1 + \cos (2 t) d t)$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $9$ .

$x]_{- 3}^{0} + \frac{9}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{0} 1 + \cos (2 t) d t$

Этап 9

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$x]_{- 3}^{0} + \frac{9}{2} (\int_{- \frac{π}{2}}^{0} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \cos (2 t) d t)$

Этап 10

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$x]_{- 3}^{0} + \frac{9}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \cos (2 t) d t)$

Этап 11

Пусть $u = 2 t$ . Тогда $d u = 2 d t$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Пусть $u = 2 t$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Дифференцируем $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Этап 11.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 11.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 11.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 11.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $t$ в $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

Этап 11.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{π}{2}$ в числитель.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Этап 11.3.2

Сократим общий множитель.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Этап 11.3.3

Перепишем это выражение.

$u_{lower} = - π$

Этап 11.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $t$ в $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 0$

Этап 11.5

Умножим $2$ на $0$ .

$u_{upper} = 0$

Этап 11.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = 0$

Этап 11.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$x]_{- 3}^{0} + \frac{9}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{0} + \int_{- π}^{0} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Этап 12

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$x]_{- 3}^{0} + \frac{9}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{0} + \int_{- π}^{0} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Этап 13

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$x]_{- 3}^{0} + \frac{9}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{0} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{0} \cos (u) d u)$

Этап 14

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$x]_{- 3}^{0} + \frac{9}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{0} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{0})$

Этап 15

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Найдем значение $x$ в $0$ и в $- 3$ .

$(0) + 3 + \frac{9}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{0} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{0})$

Этап 15.2

Найдем значение $t$ в $0$ и в $- \frac{π}{2}$ .

$(0) + 3 + \frac{9}{2} ((0) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{0})$

Этап 15.3

Найдем значение $\sin (u)$ в $0$ и в $- π$ .

$(0) + 3 + \frac{9}{2} ((0) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (0)) - \sin (- π)))$

Этап 15.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.1

Добавим $0$ и $3$ .

$3 + \frac{9}{2} ((0) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (0)) - \sin (- π)))$

Этап 15.4.2

Добавим $0$ и $\frac{π}{2}$ .

$3 + \frac{9}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (0) - \sin (- π)))$

Этап 16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$3 + \frac{9}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (0 - \sin (- π)))$

Этап 16.2

Вычтем $\sin (- π)$ из $0$ .

$3 + \frac{9}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (- \sin (- π)))$

Этап 16.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sin (- π)$ .

$3 + \frac{9}{2} (\frac{π}{2} - \frac{\sin (- π)}{2})$

Этап 17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$3 + \frac{9}{2} (\frac{π}{2} - \frac{\sin (0)}{2})$

Этап 17.1.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$3 + \frac{9}{2} (\frac{π}{2} - \frac{0}{2})$

Этап 17.2

Разделим $0$ на $2$ .

$3 + \frac{9}{2} (\frac{π}{2} - 0)$

Этап 17.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$3 + \frac{9}{2} (\frac{π}{2} + 0)$

Этап 17.4

Добавим $\frac{π}{2}$ и $0$ .

$3 + \frac{9}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 17.5

Умножим $\frac{9}{2} \cdot \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.5.1

Умножим $\frac{9}{2}$ на $\frac{π}{2}$ .

$3 + \frac{9 π}{2 \cdot 2}$

Этап 17.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$3 + \frac{9 π}{4}$

Этап 18

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$3 + \frac{9 π}{4}$

Десятичная форма:

$10.06858347 \dots$

Этап 19