Математический анализ Примеры

$\int_{2}^{5} \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int_{2}^{5} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 1.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{2}^{5} x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int_{2}^{5} x^{- 2} d x$

Этап 2

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$- x^{- 1}]_{2}^{5}$

Этап 3

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение $- x^{- 1}$ в $5$ и в $2$ .

$(- 5^{- 1}) + 2^{- 1}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{5} + 2^{- 1}$

Этап 3.2.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{5} + \frac{1}{2}$

Этап 3.2.3

Чтобы записать $- \frac{1}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 3.2.4

Чтобы записать $\frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

Этап 3.2.5

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $10$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2}{5 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

Этап 3.2.5.2

Умножим $5$ на $2$ .

$- \frac{2}{10} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

Этап 3.2.5.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{2}{10} + \frac{5}{2 \cdot 5}$

Этап 3.2.5.4

Умножим $2$ на $5$ .

$- \frac{2}{10} + \frac{5}{10}$

Этап 3.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 2 + 5}{10}$

Этап 3.2.7

Добавим $- 2$ и $5$ .

$\frac{3}{10}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{3}{10}$

Десятичная форма:

$0.3$

Этап 5