Математический анализ Примеры

$\int_{2 \sqrt{2}}^{4} \frac{1}{t^{3} \sqrt{t^{2} - 4}} d t$

Этап 1

Пусть $t = 2 \sec (t_{1})$ , где $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d t = 2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1}) d t_{1}$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ , выражение $2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})$ положительно.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{{(2 \sec (t_{1}))}^{2} - 4}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\sqrt{{(2 \sec (t_{1}))}^{2} - 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Применим правило умножения к $2 \sec (t_{1})$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{2^{2} \sec^{2} (t_{1}) - 4}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Этап 2.1.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{4 \sec^{2} (t_{1}) - 4}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $4$ из $4 \sec^{2} (t_{1})$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{4 (\sec^{2} (t_{1})) - 4}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{4 \sec^{2} (t_{1}) + 4 \cdot - 1}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $4$ из $4 \sec^{2} (t_{1}) + 4 \cdot - 1$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{4 (\sec^{2} (t_{1}) - 1)}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Этап 2.1.5

Применим формулу Пифагора.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{4 \tan^{2} (t_{1})}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Этап 2.1.6

Перепишем $4 \tan^{2} (t_{1})$ в виде ${(2 \tan (t_{1}))}^{2}$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{{(2 \tan (t_{1}))}^{2}}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Этап 2.1.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} (2 \tan (t_{1}))} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Этап 2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $2 \tan (t_{1})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $2 \tan (t_{1})$ из ${(2 \sec (t_{1}))}^{3} (2 \tan (t_{1}))$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{2 \tan (t_{1}) ({(2 \sec (t_{1}))}^{3})} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $2 \tan (t_{1})$ из $2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{2 \tan (t_{1}) ({(2 \sec (t_{1}))}^{3})} (2 \tan (t_{1}) (\sec (t_{1}))) d t_{1}$

Этап 2.2.1.3

Сократим общий множитель.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{2 \tan (t_{1}) {(2 \sec (t_{1}))}^{3}} (2 \tan (t_{1}) \sec (t_{1})) d t_{1}$

Этап 2.2.1.4

Перепишем это выражение.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3}} \sec (t_{1}) d t_{1}$

Этап 2.2.2

Объединим $\frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3}}$ и $\sec (t_{1})$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t_{1})}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3}} d t_{1}$

Этап 2.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sec (t_{1})$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t_{1})}{{(2 (\sec (t_{1})))}^{3}} d t_{1}$

Этап 2.2.3.2

Применим правило умножения к $2 (\sec (t_{1}))$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t_{1})}{2^{3} \sec^{3} (t_{1})} d t_{1}$

Этап 2.2.3.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t_{1})}{8 \sec^{3} (t_{1})} d t_{1}$

Этап 2.2.3.4

Сократим общий множитель $\sec (t_{1})$ и $\sec^{3} (t_{1})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.4.1

Умножим на $1$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t_{1}) \cdot 1}{8 \sec^{3} (t_{1})} d t_{1}$

Этап 2.2.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.4.2.1

Вынесем множитель $\sec (t_{1})$ из $8 \sec^{3} (t_{1})$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t_{1}) \cdot 1}{\sec (t_{1}) (8 \sec^{2} (t_{1}))} d t_{1}$

Этап 2.2.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t_{1}) \cdot 1}{\sec (t_{1}) (8 \sec^{2} (t_{1}))} d t_{1}$

Этап 2.2.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{8 \sec^{2} (t_{1})} d t_{1}$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{8}$ — константа по отношению к $t_{1}$ , вынесем $\frac{1}{8}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{\sec^{2} (t_{1})} d t_{1}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1}{8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1^{2}}{\sec^{2} (t_{1})} d t_{1}$

Этап 4.2

Перепишем $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (t_{1})}$ в виде ${(\frac{1}{\sec (t_{1})})}^{2}$ .

$\frac{1}{8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} {(\frac{1}{\sec (t_{1})})}^{2} d t_{1}$

Этап 4.3

Выразим $\sec (t_{1})$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (t_{1})}})}^{2} d t_{1}$

Этап 4.4

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\cos (t_{1})}$ .

$\frac{1}{8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} {(1 \cos (t_{1}))}^{2} d t_{1}$

Этап 4.5

Умножим $\cos (t_{1})$ на $1$ .

$\frac{1}{8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (t_{1}) d t_{1}$

Этап 5

Используем формулу половинного угла для записи $\cos^{2} (t_{1})$ в виде $\frac{1 + \cos (2 t_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1 + \cos (2 t_{1})}{2} d t_{1}$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $t_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{8} (\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 1 + \cos (2 t_{1}) d t_{1})$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 1 + \cos (2 t_{1}) d t_{1}$

Этап 7.2

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{1}{16} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 1 + \cos (2 t_{1}) d t_{1}$

Этап 8

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{16} (\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} d t_{1} + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos (2 t_{1}) d t_{1})$

Этап 9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{16} (t_{1}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos (2 t_{1}) d t_{1})$

Этап 10

Пусть $u = 2 t_{1}$ . Тогда $d u = 2 d t_{1}$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d t_{1}$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Пусть $u = 2 t_{1}$ . Найдем $\frac{d u}{d t_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Дифференцируем $2 t_{1}$ .

$\frac{d}{d t_{1}} [2 t_{1}]$

Этап 10.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $t_{1}$ , производная $2 t_{1}$ по $t_{1}$ равна $2 \frac{d}{d t_{1}} [t_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d t_{1}} [t_{1}]$

Этап 10.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t_{1}} [{t_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {t_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 10.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 10.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $t_{1}$ в $u = 2 t_{1}$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{4}$

Этап 10.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Этап 10.3.2

Сократим общий множитель.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Этап 10.3.3

Перепишем это выражение.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

Этап 10.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $t_{1}$ в $u = 2 t_{1}$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{3}$

Этап 10.5

Объединим $2$ и $\frac{π}{3}$ .

$u_{upper} = \frac{2 π}{3}$

Этап 10.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

$u_{upper} = \frac{2 π}{3}$

Этап 10.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\frac{1}{16} (t_{1}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Этап 11

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{16} (t_{1}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Этап 12

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{16} (t_{1}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u) d u)$

Этап 13

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$\frac{1}{16} (t_{1}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

Этап 14

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Найдем значение $t_{1}$ в $\frac{π}{3}$ и в $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1}{16} ((\frac{π}{3}) - \frac{π}{4} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

Этап 14.2

Найдем значение $\sin (u)$ в $\frac{2 π}{3}$ и в $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{16} ((\frac{π}{3}) - \frac{π}{4} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Этап 14.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Чтобы записать $\frac{π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Этап 14.3.2

Чтобы записать $- \frac{π}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Этап 14.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $12$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.3.1

Умножим $\frac{π}{3}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Этап 14.3.3.2

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Этап 14.3.3.3

Умножим $\frac{π}{4}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Этап 14.3.3.4

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{12} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Этап 14.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{16} (\frac{π \cdot 4 - π \cdot 3}{12} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Этап 14.3.5

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$\frac{1}{16} (\frac{4 \cdot π - π \cdot 3}{12} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Этап 14.3.6

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{1}{16} (\frac{4 π - 3 π}{12} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Этап 14.3.7

Вычтем $3 π$ из $4 π$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})))$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - 1 \cdot 1))$

Этап 15.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - 1))$

Этап 16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{π}{3}) - 1))$

Этап 16.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - 1))$

Этап 16.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 1)$

Этап 16.3

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.3.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot - 1)$

Этап 16.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2} \cdot - 1)$

Этап 16.4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{- 1}{2})$

Этап 16.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{2})$

Этап 16.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{16} \cdot \frac{π}{12} + \frac{1}{16} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{16} (- \frac{1}{2})$

Этап 16.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.7.1

Умножим $\frac{1}{16} \cdot \frac{π}{12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.7.1.1

Умножим $\frac{1}{16}$ на $\frac{π}{12}$ .

$\frac{π}{16 \cdot 12} + \frac{1}{16} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{16} (- \frac{1}{2})$

Этап 16.7.1.2

Умножим $16$ на $12$ .

$\frac{π}{192} + \frac{1}{16} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{16} (- \frac{1}{2})$

Этап 16.7.2

Умножим $\frac{1}{16} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.7.2.1

Умножим $\frac{1}{16}$ на $\frac{\sqrt{3}}{4}$ .

$\frac{π}{192} + \frac{\sqrt{3}}{16 \cdot 4} + \frac{1}{16} (- \frac{1}{2})$

Этап 16.7.2.2

Умножим $16$ на $4$ .

$\frac{π}{192} + \frac{\sqrt{3}}{64} + \frac{1}{16} (- \frac{1}{2})$

Этап 16.7.3

Умножим $\frac{1}{16} (- \frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.7.3.1

Умножим $\frac{1}{16}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{192} + \frac{\sqrt{3}}{64} - \frac{1}{16 \cdot 2}$

Этап 16.7.3.2

Умножим $16$ на $2$ .

$\frac{π}{192} + \frac{\sqrt{3}}{64} - \frac{1}{32}$

Этап 17

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{π}{192} + \frac{\sqrt{3}}{64} - \frac{1}{32}$

Десятичная форма:

$0.01217575 \dots$

Этап 18