Математический анализ Примеры

$\int - 2 x e^{- x^{2}} d x$

Этап 1

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$- 2 \int x e^{- x^{2}} d x$

Этап 2

Пусть $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Тогда $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 2.1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Этап 2.1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Этап 2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Изменим порядок множителей в $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ .

$- 2 e^{- x^{2}} x$

Этап 2.1.4.2

Изменим порядок множителей в $- 2 e^{- x^{2}} x$ .

$- 2 x e^{- x^{2}}$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$- 2 \int \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Этап 3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 2 \int - \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- 2 (- \frac{1}{2} u_{2} + C)$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим.

$- 2 (- \frac{1}{2} u_{2}) + C$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Объединим $u_{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{u_{2}}{2}) + C$

Этап 5.2.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$2 \frac{u_{2}}{2} + C$

Этап 5.2.3

Объединим $2$ и $\frac{u_{2}}{2}$ .

$\frac{2 u_{2}}{2} + C$

Этап 5.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 u_{2}}{2} + C$

Этап 5.2.4.2

Разделим $u_{2}$ на $1$ .

$u_{2} + C$

Этап 5.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $e^{- x^{2}}$ .

$e^{- x^{2}} + C$