Математический анализ Примеры

$\int 2 x^{3} e^{- x^{2}} d x$

Этап 1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int x^{3} e^{- x^{2}} d x$

Этап 2

Пусть $u = - x^{2}$ . Тогда $d u = - 2 x d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = - x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 2.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- (2 x)$

Этап 2.1.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 x$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$2 \int {\sqrt{- u}}^{2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем ${\sqrt{- u}}^{2}$ в виде $- u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{- u}$ в виде ${(- u)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int {({(- u)}^{\frac{1}{2}})}^{2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Этап 3.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int {(- u)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Этап 3.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$2 \int {(- u)}^{\frac{2}{2}} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Этап 3.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Сократим общий множитель.

$2 \int {(- u)}^{\frac{2}{2}} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Этап 3.1.4.2

Перепишем это выражение.

$2 \int {(- u)}^{1} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Этап 3.1.5

Упростим.

$2 \int - u e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Этап 3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 \int - u e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Этап 3.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 \int 1 u e^{u} \frac{1}{2} d u$

Этап 3.4

Умножим $u$ на $1$ .

$2 \int u e^{u} \frac{1}{2} d u$

Этап 3.5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $u$ .

$2 \int \frac{u}{2} e^{u} d u$

Этап 3.6

Объединим $\frac{u}{2}$ и $e^{u}$ .

$2 \int \frac{u e^{u}}{2} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{1}{2} \int u e^{u} d u)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2}{2} \int u e^{u} d u$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2} \int u e^{u} d u$

Этап 5.2.2

Перепишем это выражение.

$1 \int u e^{u} d u$

Этап 5.3

Умножим $\int u e^{u} d u$ на $1$ .

$\int u e^{u} d u$

Этап 6

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int w d v = w v - \int v d w$ , где $w = u$ и $dv = e^{u}$ .

$u e^{u} - \int e^{u} d u$

Этап 7

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$u e^{u} - (e^{u} + C)$

Этап 8

Упростим.

$u e^{u} - e^{u} + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $u$ на $- x^{2}$ .

$- x^{2} e^{- x^{2}} - e^{- x^{2}} + C$