Математический анализ Примеры

$\int_{- 4}^{3} (5 - x^{2}) - (x - 7) d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 4}^{3} 5 d x + \int_{- 4}^{3} - x^{2} d x + \int_{- 4}^{3} - (x - 7) d x$

Этап 2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$5 x]_{- 4}^{3} + \int_{- 4}^{3} - x^{2} d x + \int_{- 4}^{3} - (x - 7) d x$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$5 x]_{- 4}^{3} - \int_{- 4}^{3} x^{2} d x + \int_{- 4}^{3} - (x - 7) d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 x]_{- 4}^{3} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{3}) + \int_{- 4}^{3} - (x - 7) d x$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$5 x]_{- 4}^{3} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{3}) + \int_{- 4}^{3} - (x - 7) d x$

Этап 6

Умножим $- (x - 7)$ .

$5 x]_{- 4}^{3} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{3}) + \int_{- 4}^{3} - x - - 7 d x$

Этап 7

Умножим $- 1$ на $- 7$ .

$5 x]_{- 4}^{3} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{3}) + \int_{- 4}^{3} - x + 7 d x$

Этап 8

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$5 x]_{- 4}^{3} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{3}) + \int_{- 4}^{3} - x d x + \int_{- 4}^{3} 7 d x$

Этап 9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$5 x]_{- 4}^{3} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{3}) - \int_{- 4}^{3} x d x + \int_{- 4}^{3} 7 d x$

Этап 10

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$5 x]_{- 4}^{3} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{3}) - (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{3}) + \int_{- 4}^{3} 7 d x$

Этап 11

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$5 x]_{- 4}^{3} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{3}) + \int_{- 4}^{3} 7 d x$

Этап 12

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$5 x]_{- 4}^{3} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{3}) + 7 x]_{- 4}^{3}$

Этап 13

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Объединим $5 x]_{- 4}^{3}$ и $7 x]_{- 4}^{3}$ .

$5 x + 7 x]_{- 4}^{3} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{3})$

Этап 13.1.2

Добавим $5 x$ и $7 x$ .

$12 x]_{- 4}^{3} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{3})$

Этап 13.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Найдем значение $12 x$ в $3$ и в $- 4$ .

$(12 \cdot 3) - 12 \cdot - 4 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{3})$

Этап 13.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $3$ и в $- 4$ .

$(12 \cdot 3) - 12 \cdot - 4 - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{3})$

Этап 13.2.3

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $3$ и в $- 4$ .

$(12 \cdot 3) - 12 \cdot - 4 - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 13.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.4.1

Умножим $12$ на $3$ .

$36 - 12 \cdot - 4 - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 13.2.4.2

Умножим $- 12$ на $- 4$ .

$36 + 48 - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 13.2.4.3

Добавим $36$ и $48$ .

$84 - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 13.2.4.4

Возведем $3$ в степень $3$ .

$84 - (\frac{27}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 13.2.4.5

Сократим общий множитель $27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.4.5.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$84 - (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 13.2.4.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.4.5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$84 - (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 13.2.4.5.2.2

Сократим общий множитель.

$84 - (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 13.2.4.5.2.3

Перепишем это выражение.

$84 - (\frac{9}{1} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 13.2.4.5.2.4

Разделим $9$ на $1$ .

$84 - (9 - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 13.2.4.6

Возведем $- 4$ в степень $3$ .

$84 - (9 - \frac{- 64}{3}) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 13.2.4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$84 - (9 - - \frac{64}{3}) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 13.2.4.8

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$84 - (9 + 1 (\frac{64}{3})) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 13.2.4.9

Умножим $\frac{64}{3}$ на $1$ .

$84 - (9 + \frac{64}{3}) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 13.2.4.10

Чтобы записать $9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$84 - (9 \cdot \frac{3}{3} + \frac{64}{3}) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 13.2.4.11

Объединим $9$ и $\frac{3}{3}$ .

$84 - (\frac{9 \cdot 3}{3} + \frac{64}{3}) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 13.2.4.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$84 - \frac{9 \cdot 3 + 64}{3} - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 13.2.4.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.4.13.1

Умножим $9$ на $3$ .

$84 - \frac{27 + 64}{3} - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 13.2.4.13.2

Добавим $27$ и $64$ .

$84 - \frac{91}{3} - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 13.2.4.14

Чтобы записать $84$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$84 \cdot \frac{3}{3} - \frac{91}{3} - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 13.2.4.15

Объединим $84$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{84 \cdot 3}{3} - \frac{91}{3} - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 13.2.4.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{84 \cdot 3 - 91}{3} - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 13.2.4.17

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.4.17.1

Умножим $84$ на $3$ .

$\frac{252 - 91}{3} - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 13.2.4.17.2

Вычтем $91$ из $252$ .

$\frac{161}{3} - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 13.2.4.18

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{161}{3} - (\frac{9}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 13.2.4.19

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$\frac{161}{3} - (\frac{9}{2} - \frac{16}{2})$

Этап 13.2.4.20

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.4.20.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$\frac{161}{3} - (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 8}{2})$

Этап 13.2.4.20.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.4.20.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{161}{3} - (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 8}{2 (1)})$

Этап 13.2.4.20.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{161}{3} - (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1})$

Этап 13.2.4.20.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{161}{3} - (\frac{9}{2} - \frac{8}{1})$

Этап 13.2.4.20.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$\frac{161}{3} - (\frac{9}{2} - 1 \cdot 8)$

Этап 13.2.4.21

Умножим $- 1$ на $8$ .

$\frac{161}{3} - (\frac{9}{2} - 8)$

Этап 13.2.4.22

Чтобы записать $- 8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{161}{3} - (\frac{9}{2} - 8 \cdot \frac{2}{2})$

Этап 13.2.4.23

Объединим $- 8$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{161}{3} - (\frac{9}{2} + \frac{- 8 \cdot 2}{2})$

Этап 13.2.4.24

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{161}{3} - \frac{9 - 8 \cdot 2}{2}$

Этап 13.2.4.25

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.4.25.1

Умножим $- 8$ на $2$ .

$\frac{161}{3} - \frac{9 - 16}{2}$

Этап 13.2.4.25.2

Вычтем $16$ из $9$ .

$\frac{161}{3} - \frac{- 7}{2}$

Этап 13.2.4.26

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{161}{3} - - \frac{7}{2}$

Этап 13.2.4.27

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{161}{3} + 1 (\frac{7}{2})$

Этап 13.2.4.28

Умножим $\frac{7}{2}$ на $1$ .

$\frac{161}{3} + \frac{7}{2}$

Этап 13.2.4.29

Чтобы записать $\frac{161}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{161}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{2}$

Этап 13.2.4.30

Чтобы записать $\frac{7}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{161}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 13.2.4.31

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.4.31.1

Умножим $\frac{161}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{161 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 13.2.4.31.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{161 \cdot 2}{6} + \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 13.2.4.31.3

Умножим $\frac{7}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{161 \cdot 2}{6} + \frac{7 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Этап 13.2.4.31.4

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{161 \cdot 2}{6} + \frac{7 \cdot 3}{6}$

Этап 13.2.4.32

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{161 \cdot 2 + 7 \cdot 3}{6}$

Этап 13.2.4.33

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.4.33.1

Умножим $161$ на $2$ .

$\frac{322 + 7 \cdot 3}{6}$

Этап 13.2.4.33.2

Умножим $7$ на $3$ .

$\frac{322 + 21}{6}$

Этап 13.2.4.33.3

Добавим $322$ и $21$ .

$\frac{343}{6}$

Этап 14

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{343}{6}$

Десятичная форма:

$57.1\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$57 \frac{1}{6}$

Этап 15