Математический анализ Примеры

$\int 30 t^{5} e^{- t^{6}} d t$

Этап 1

Поскольку $30$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $30$ из-под знака интеграла.

$30 \int t^{5} e^{- t^{6}} d t$

Этап 2

Пусть $u_{1} = t^{2}$ . Тогда $d u_{1} = 2 t d t$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = t d t$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u_{1} = t^{2}$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 t$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$30 \int {\sqrt{u_{1}}}^{4} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ в виде ${u_{1}}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u_{1}}$ в виде ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$30 \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$30 \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$30 \int {u_{1}}^{\frac{4}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.1.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$30 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$30 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$30 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$30 \int {u_{1}}^{\frac{2}{1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.1.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$30 \int {u_{1}}^{2} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.2

Перепишем ${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ в виде ${u_{1}}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u_{1}}$ в виде ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$30 \int {u_{1}}^{2} e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$30 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $6$ .

$30 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{\frac{6}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.2.4

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$30 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$30 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$30 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$30 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{\frac{3}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.2.4.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$30 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${u_{1}}^{2}$ .

$30 \int \frac{{u_{1}}^{2}}{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Этап 3.4

Объединим $\frac{{u_{1}}^{2}}{2}$ и $e^{- {u_{1}}^{3}}$ .

$30 \int \frac{{u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}}}{2} d u_{1}$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$30 (\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1})$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $30$ .

$\frac{30}{2} \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $30$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $30$ .

$\frac{2 \cdot 15}{2} \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Этап 5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 15}{2 (1)} \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 1} \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Этап 5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{15}{1} \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Этап 5.2.2.4

Разделим $15$ на $1$ .

$15 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Этап 6

Пусть $u_{2} = - {u_{1}}^{3}$ . Тогда $d u_{2} = - 3 {u_{1}}^{2} d u_{1}$ , следовательно $- \frac{1}{3} d u_{2} = {u_{1}}^{2} d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u_{2} = - {u_{1}}^{3}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $- {u_{1}}^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{3}]$

Этап 6.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $- {u_{1}}^{3}$ по $u_{1}$ равна $- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}]$ .

$- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}]$

Этап 6.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- (3 {u_{1}}^{2})$

Этап 6.1.4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 {u_{1}}^{2}$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$15 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 3} d u_{2}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$15 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{3}) d u_{2}$

Этап 7.2

Объединим $e^{u_{2}}$ и $\frac{1}{3}$ .

$15 \int - \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

Этап 8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$15 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2})$

Этап 9

Умножим $- 1$ на $15$ .

$- 15 \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

Этап 10

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$- 15 (\frac{1}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 15$ .

$\frac{- 15}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 11.2

Сократим общий множитель $- 15$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 15$ .

$\frac{3 \cdot - 5}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 11.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot - 5}{3 (1)} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 11.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot - 5}{3 \cdot 1} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 11.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 5}{1} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 11.2.2.4

Разделим $- 5$ на $1$ .

$- 5 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 12

Интеграл $e^{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $e^{u_{2}}$ .

$- 5 (e^{u_{2}} + C)$

Этап 13

Упростим.

$- 5 e^{u_{2}} + C$

Этап 14

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- {u_{1}}^{3}$ .

$- 5 e^{- {u_{1}}^{3}} + C$

Этап 14.2

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $t^{2}$ .

$- 5 e^{- {(t^{2})}^{3}} + C$