Математический анализ Примеры

$\int_{3}^{5} \frac{1}{\sqrt{x}} - 4 d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{3}^{5} \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int_{3}^{5} - 4 d x$

Этап 2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{3}^{5} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int_{3}^{5} - 4 d x$

Этап 2.2

Вынесем $x^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int_{3}^{5} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int_{3}^{5} - 4 d x$

Этап 2.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{3}^{5} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int_{3}^{5} - 4 d x$

Этап 2.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\int_{3}^{5} x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int_{3}^{5} - 4 d x$

Этап 2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int_{3}^{5} x^{- \frac{1}{2}} d x + \int_{3}^{5} - 4 d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}}]_{3}^{5} + \int_{3}^{5} - 4 d x$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 x^{\frac{1}{2}}]_{3}^{5} + - 4 x]_{3}^{5}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $2 x^{\frac{1}{2}}]_{3}^{5}$ и $- 4 x]_{3}^{5}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} - 4 x]_{3}^{5}$

Этап 5.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Найдем значение $2 x^{\frac{1}{2}} - 4 x$ в $5$ и в $3$ .

$(2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 5) - (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 3)$

Этап 5.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Умножим $- 4$ на $5$ .

$2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 20 - (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 3)$

Этап 5.2.2.2

Умножим $- 4$ на $3$ .

$2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 20 - (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 12)$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 20 - (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - - 12$

Этап 5.3.1.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 20 - 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - - 12$

Этап 5.3.1.3

Умножим $- 1$ на $- 12$ .

$2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 20 - 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 12$

Этап 5.3.2

Добавим $- 20$ и $12$ .

$2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 8 - 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 8 - 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$

Десятичная форма:

$- 6.99196566 \dots$

Этап 7