Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{1}{8}} \frac{\arcsin (4 x)}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} d x$

Этап 1

Пусть $u_{2} = \arcsin (4 x)$ . Тогда $d u_{2} = \frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} d x$ , следовательно $- d u_{2} = \frac{- 4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{2} = \arcsin (4 x)$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\arcsin (4 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\arcsin (4 x)]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arcsin (x)$ и $g (x) = 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 1.1.2.2

Производная $\arcsin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $4 x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(4 x)}^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(4 (x))}^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 1.1.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Применим правило умножения к $4 (x)$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (4^{2} x^{2})}} \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 1.1.3.2.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (16 x^{2})}} \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 1.1.3.2.3

Умножим $16$ на $- 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 1.1.3.3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.1.3.4

Объединим $4$ и $\frac{1}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} \cdot 1$

Этап 1.1.3.6

Умножим $\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}}$ на $1$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}}$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u_{2} = \arcsin (4 x)$ .

$u_{lower} = \arcsin (4 \cdot 0)$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $4$ на $0$ .

$u_{lower} = \arcsin (0)$

Этап 1.3.2

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u_{2} = \arcsin (4 x)$ .

$u_{upper} = \arcsin (4 (\frac{1}{8}))$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$u_{upper} = \arcsin (4 \frac{1}{4 (2)})$

Этап 1.5.1.2

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = \arcsin (4 \frac{1}{4 \cdot 2})$

Этап 1.5.1.3

Перепишем это выражение.

$u_{upper} = \arcsin (\frac{1}{2})$

Этап 1.5.2

Точное значение $\arcsin (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{6}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{6}$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{6}$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u_{2}$ , $d u_{2}$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{1}{4} u_{2} d u_{2}$

Этап 2

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{6}} u_{2} d u_{2}$

Этап 3

По правилу степени интеграл $u_{2}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{0}^{\frac{π}{6}}$

Этап 4

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ в $\frac{π}{6}$ и в $0$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0)$

Этап 4.2.2

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + 0 (\frac{1}{2}))$

Этап 4.2.3

Умножим $0$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + 0)$

Этап 4.2.4

Добавим $\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2}$ и $0$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2})$

Этап 4.2.5

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} {(\frac{π}{6})}^{2}$

Этап 4.2.6

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{1}{8} {(\frac{π}{6})}^{2}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим правило умножения к $\frac{π}{6}$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{π^{2}}{6^{2}}$

Этап 5.2

Объединим.

$\frac{1 π^{2}}{8 \cdot 6^{2}}$

Этап 5.3

Умножим $π^{2}$ на $1$ .

$\frac{π^{2}}{8 \cdot 6^{2}}$

Этап 5.4

Возведем $6$ в степень $2$ .

$\frac{π^{2}}{8 \cdot 36}$

Этап 5.5

Умножим $8$ на $36$ .

$\frac{π^{2}}{288}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{π^{2}}{288}$

Десятичная форма:

$0.03426945 \dots$