Математический анализ Примеры

$\int \frac{y - 2}{y + 3} d y$

Этап 1

Разделим $y - 2$ на $y + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$y$

$3$

$y$

$2$

Этап 1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $y$ на член с максимальной степенью в делителе $y$ .

					$1$
	$y$	+	$3$		$y$	-	$2$

Этап 1.3

Умножим новое частное на делитель.

				$1$
$y$	+	$3$		$y$	-	$2$
			+	$y$	+	$3$

Этап 1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $y + 3$ .

				$1$
$y$	+	$3$		$y$	-	$2$
			-	$y$	-	$3$

Этап 1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$1$
$y$	+	$3$		$y$	-	$2$
			-	$y$	-	$3$
					-	$5$

Этап 1.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int 1 - \frac{5}{y + 3} d y$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int d y + \int - \frac{5}{y + 3} d y$

Этап 3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C + \int - \frac{5}{y + 3} d y$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C - \int \frac{5}{y + 3} d y$

Этап 5

Поскольку $5$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$y + C - (5 \int \frac{1}{y + 3} d y)$

Этап 6

Умножим $5$ на $- 1$ .

$y + C - 5 \int \frac{1}{y + 3} d y$

Этап 7

Пусть $u = y + 3$ . Тогда $d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть $u = y + 3$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Дифференцируем $y + 3$ .

$\frac{d}{d y} [y + 3]$

Этап 7.1.2

По правилу суммы производная $y + 3$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

Этап 7.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [3]$

Этап 7.1.4

Поскольку $3$ является константой относительно $y$ , производная $3$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 7.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 7.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C - 5 \int \frac{1}{u} d u$

Этап 8

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$y + C - 5 (\ln (| u |) + C)$

Этап 9

Упростим.

$y - 5 \ln (| u |) + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $y + 3$ .

$y - 5 \ln (| y + 3 |) + C$