Математический анализ Примеры

$\int y^{2} {(1 + y)}^{2} d y$

Этап 1

Развернем $y^{2} {(1 + y)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(1 + y)}^{2}$ в виде $(1 + y) (1 + y)$ .

$\int y^{2} ((1 + y) (1 + y)) d y$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int y^{2} (1 (1 + y) + y (1 + y)) d y$

Этап 1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int y^{2} (1 \cdot 1 + 1 y + y (1 + y)) d y$

Этап 1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\int y^{2} (1 \cdot 1 + 1 y + y \cdot 1 + y \cdot y) d y$

Этап 1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\int y^{2} (1 \cdot 1 + 1 y) + y^{2} (y \cdot 1 + y \cdot y) d y$

Этап 1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\int y^{2} (1 \cdot 1) + y^{2} (1 y) + y^{2} (y \cdot 1 + y \cdot y) d y$

Этап 1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$\int y^{2} (1 \cdot 1) + y^{2} (1 y) + y^{2} (y \cdot 1) + y^{2} (y \cdot y) d y$

Этап 1.8

Перенесем $y^{2}$ .

$\int 1 \cdot 1 y^{2} + y^{2} (1 y) + y^{2} (y \cdot 1) + y^{2} (y \cdot y) d y$

Этап 1.9

Изменим порядок $y^{2}$ и $1$ .

$\int 1 \cdot 1 y^{2} + 1 \cdot y^{2} y + y^{2} (y \cdot 1) + y^{2} (y \cdot y) d y$

Этап 1.10

Изменим порядок $y$ и $1$ .

$\int 1 \cdot 1 y^{2} + 1 \cdot y^{2} y + y^{2} (1 \cdot y) + y^{2} (y \cdot y) d y$

Этап 1.11

Изменим порядок $y^{2}$ и $1$ .

$\int 1 \cdot 1 y^{2} + 1 \cdot y^{2} y + 1 \cdot y^{2} \cdot y + y^{2} (y \cdot y) d y$

Этап 1.12

Умножим $1$ на $1$ .

$\int 1 y^{2} + 1 y^{2} y + 1 y^{2} y + y^{2} y \cdot y d y$

Этап 1.13

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$\int y^{2} + 1 y^{2} y + 1 y^{2} y + y^{2} y \cdot y d y$

Этап 1.14

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$\int y^{2} + y^{2} y + 1 y^{2} y + y^{2} y \cdot y d y$

Этап 1.15

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\int y^{2} + y^{2} y^{1} + 1 y^{2} y + y^{2} y \cdot y d y$

Этап 1.16

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int y^{2} + y^{2 + 1} + 1 y^{2} y + y^{2} y \cdot y d y$

Этап 1.17

Добавим $2$ и $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + 1 y^{2} y + y^{2} y \cdot y d y$

Этап 1.18

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + y^{2} y + y^{2} y \cdot y d y$

Этап 1.19

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + y^{2} y^{1} + y^{2} y \cdot y d y$

Этап 1.20

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int y^{2} + y^{3} + y^{2 + 1} + y^{2} y \cdot y d y$

Этап 1.21

Добавим $2$ и $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + y^{3} + y^{2} y \cdot y d y$

Этап 1.22

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + y^{3} + y^{2} y^{1} y d y$

Этап 1.23

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int y^{2} + y^{3} + y^{3} + y^{2 + 1} y d y$

Этап 1.24

Добавим $2$ и $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + y^{3} + y^{3} y d y$

Этап 1.25

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + y^{3} + y^{3} y^{1} d y$

Этап 1.26

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int y^{2} + y^{3} + y^{3} + y^{3 + 1} d y$

Этап 1.27

Добавим $3$ и $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + y^{3} + y^{4} d y$

Этап 1.28

Добавим $y^{3}$ и $y^{3}$ .

$\int y^{2} + 2 y^{3} + y^{4} d y$

Этап 1.29

Изменим порядок $2 y^{3}$ и $y^{4}$ .

$\int y^{2} + y^{4} + 2 y^{3} d y$

Этап 1.30

Перенесем $y^{2}$ .

$\int y^{4} + 2 y^{3} + y^{2} d y$

$\int y^{4} + 2 y^{3} + y^{2} d y$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int y^{4} d y + \int 2 y^{3} d y + \int y^{2} d y$

Этап 3

По правилу степени интеграл $y^{4}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{5} y^{5}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C + \int 2 y^{3} d y + \int y^{2} d y$

Этап 4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{5} y^{5} + C + 2 \int y^{3} d y + \int y^{2} d y$

Этап 5

По правилу степени интеграл $y^{3}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C + 2 (\frac{1}{4} y^{4} + C) + \int y^{2} d y$

Этап 6

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C + 2 (\frac{1}{4} y^{4} + C) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $y^{4}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C + 2 (\frac{y^{4}}{4} + C) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Этап 7.2

Упростим.

$\frac{y^{5}}{5} + \frac{y^{4}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Этап 7.3

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{5} y^{5} + \frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

$\frac{1}{5} y^{5} + \frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$