Введите задачу...
Математический анализ Примеры
Этап 1
Проинтегрируем по частям, используя формулу , где и .
Этап 2
Этап 2.1
Объединим и .
Этап 2.2
Объединим и .
Этап 2.3
Объединим и .
Этап 2.4
Объединим и .
Этап 3
Разделим данный интеграл на несколько интегралов.
Этап 4
Этап 4.1
Объединим и .
Этап 4.2
Объединим и .
Этап 4.3
Объединим и .
Этап 4.4
Объединим и .
Этап 5
Поскольку — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 6
Поскольку — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 7
Этап 7.1
Пусть . Найдем .
Этап 7.1.1
Дифференцируем .
Этап 7.1.2
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 7.1.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 7.1.4
Умножим на .
Этап 7.2
Подставим нижнее предельное значение вместо в .
Этап 7.3
Умножим на .
Этап 7.4
Подставим верхнее предельное значение вместо в .
Этап 7.5
Сократим общий множитель .
Этап 7.5.1
Сократим общий множитель.
Этап 7.5.2
Перепишем это выражение.
Этап 7.6
Значения, найденные для и , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.
Этап 7.7
Переформулируем задачу, используя , и новые пределы интегрирования.
Этап 8
Объединим и .
Этап 9
Поскольку — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 10
Этап 10.1
Умножим на .
Этап 10.2
Умножим на .
Этап 11
Интеграл по имеет вид .
Этап 12
Объединим и .
Этап 13
Поскольку — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 14
Этап 14.1
Пусть . Найдем .
Этап 14.1.1
Дифференцируем .
Этап 14.1.2
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 14.1.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 14.1.4
Умножим на .
Этап 14.2
Подставим нижнее предельное значение вместо в .
Этап 14.3
Умножим на .
Этап 14.4
Подставим верхнее предельное значение вместо в .
Этап 14.5
Сократим общий множитель .
Этап 14.5.1
Сократим общий множитель.
Этап 14.5.2
Перепишем это выражение.
Этап 14.6
Значения, найденные для и , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.
Этап 14.7
Переформулируем задачу, используя , и новые пределы интегрирования.
Этап 15
Объединим и .
Этап 16
Поскольку — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 17
Этап 17.1
Умножим на .
Этап 17.2
Умножим на .
Этап 18
Вынесем за скобки.
Этап 19
Используя формулы Пифагора, запишем в виде .
Этап 20
Этап 20.1
Пусть . Найдем .
Этап 20.1.1
Дифференцируем .
Этап 20.1.2
Производная по равна .
Этап 20.2
Подставим нижнее предельное значение вместо в .
Этап 20.3
Точное значение : .
Этап 20.4
Подставим верхнее предельное значение вместо в .
Этап 20.5
Упростим.
Этап 20.5.1
Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.
Этап 20.5.2
Точное значение : .
Этап 20.5.3
Умножим на .
Этап 20.6
Значения, найденные для и , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.
Этап 20.7
Переформулируем задачу, используя , и новые пределы интегрирования.
Этап 21
Разделим данный интеграл на несколько интегралов.
Этап 22
Применим правило дифференцирования постоянных функций.
Этап 23
По правилу степени интеграл по имеет вид .
Этап 24
Этап 24.1
Объединим и .
Этап 24.2
Объединим и .
Этап 24.3
Объединим и .
Этап 25
Поскольку — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 26
По правилу степени интеграл по имеет вид .
Этап 27
Этап 27.1
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 27.2
Объединим и .
Этап 27.3
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 27.4
Объединим и .
Этап 27.5
Объединим и .
Этап 27.6
Объединим и .
Этап 27.7
Умножим на .
Этап 27.8
Сократим общий множитель и .
Этап 27.8.1
Вынесем множитель из .
Этап 27.8.2
Сократим общие множители.
Этап 27.8.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 27.8.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 27.8.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 27.8.2.4
Разделим на .
Этап 28
Поскольку — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 29
Этап 29.1
Пусть . Найдем .
Этап 29.1.1
Дифференцируем .
Этап 29.1.2
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 29.1.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 29.1.4
Умножим на .
Этап 29.2
Подставим нижнее предельное значение вместо в .
Этап 29.3
Умножим на .
Этап 29.4
Подставим верхнее предельное значение вместо в .
Этап 29.5
Сократим общий множитель .
Этап 29.5.1
Вынесем множитель из .
Этап 29.5.2
Сократим общий множитель.
Этап 29.5.3
Перепишем это выражение.
Этап 29.6
Значения, найденные для и , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.
Этап 29.7
Переформулируем задачу, используя , и новые пределы интегрирования.
Этап 30
Объединим и .
Этап 31
Поскольку — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 32
Этап 32.1
Умножим на .
Этап 32.2
Умножим на .
Этап 33
Интеграл по имеет вид .
Этап 34
Объединим и .
Этап 35
Этап 35.1
Найдем значение в и в .
Этап 35.2
Найдем значение в и в .
Этап 35.3
Найдем значение в и в .
Этап 35.4
Найдем значение в и в .
Этап 35.5
Найдем значение в и в .
Этап 35.6
Упростим.
Этап 35.6.1
Объединим и .
Этап 35.6.2
Сократим общий множитель .
Этап 35.6.2.1
Сократим общий множитель.
Этап 35.6.2.2
Разделим на .
Этап 35.6.3
Объединим и .
Этап 35.6.4
Сократим общий множитель .
Этап 35.6.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 35.6.4.2
Разделим на .
Этап 35.6.5
Объединим и .
Этап 35.6.6
Перепишем в виде произведения.
Этап 35.6.7
Умножим на .
Этап 35.6.8
Умножим на .
Этап 35.6.9
Объединим и .
Этап 35.6.10
Сократим общий множитель и .
Этап 35.6.10.1
Вынесем множитель из .
Этап 35.6.10.2
Сократим общие множители.
Этап 35.6.10.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 35.6.10.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 35.6.10.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 35.6.10.2.4
Разделим на .
Этап 35.6.11
Умножим на .
Этап 35.6.12
Умножим на .
Этап 35.6.13
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 35.6.14
Запишем каждое выражение с общим знаменателем , умножив на подходящий множитель .
Этап 35.6.14.1
Умножим на .
Этап 35.6.14.2
Умножим на .
Этап 35.6.15
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 35.6.16
Упростим числитель.
Этап 35.6.16.1
Найдем значение .
Этап 35.6.16.2
Умножим на .
Этап 35.6.16.3
Умножим на .
Этап 35.6.16.4
Найдем значение .
Этап 35.6.16.5
Возведем в степень .
Этап 35.6.16.6
Добавим и .
Этап 35.6.17
Сократим общий множитель и .
Этап 35.6.17.1
Вынесем множитель из .
Этап 35.6.17.2
Сократим общие множители.
Этап 35.6.17.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 35.6.17.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 35.6.17.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 35.6.17.2.4
Разделим на .
Этап 35.6.18
Умножим на .
Этап 35.6.19
Сократим общий множитель и .
Этап 35.6.19.1
Вынесем множитель из .
Этап 35.6.19.2
Сократим общие множители.
Этап 35.6.19.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 35.6.19.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 35.6.19.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 35.6.19.2.4
Разделим на .
Этап 35.6.20
Добавим и .
Этап 35.6.21
Умножим на .
Этап 35.6.22
Добавим и .
Этап 35.6.23
Умножим на .
Этап 35.6.24
Добавим и .
Этап 35.6.25
Умножим на .
Этап 35.6.26
Возведем в степень .
Этап 35.6.27
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 35.6.28
Запишем в виде дроби с общим знаменателем.
Этап 35.6.29
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 35.6.30
Вычтем из .
Этап 35.6.31
Умножим на .
Этап 35.6.32
Единица в любой степени равна единице.
Этап 35.6.33
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 35.6.34
Объединим и .
Этап 35.6.35
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 35.6.36
Упростим числитель.
Этап 35.6.36.1
Умножим на .
Этап 35.6.36.2
Добавим и .
Этап 35.6.37
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 35.6.38
Умножим на .
Этап 35.6.39
Умножим на .
Этап 35.6.40
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 35.6.41
Добавим и .
Этап 35.6.42
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 35.6.43
Сократим общий множитель и .
Этап 35.6.43.1
Вынесем множитель из .
Этап 35.6.43.2
Сократим общие множители.
Этап 35.6.43.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 35.6.43.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 35.6.43.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 35.6.43.2.4
Разделим на .
Этап 35.6.44
Умножим на .
Этап 35.6.45
Добавим и .
Этап 35.6.46
Сократим общий множитель и .
Этап 35.6.46.1
Вынесем множитель из .
Этап 35.6.46.2
Вынесем множитель из .
Этап 35.6.46.3
Вынесем множитель из .
Этап 35.6.46.4
Сократим общие множители.
Этап 35.6.46.4.1
Вынесем множитель из .
Этап 35.6.46.4.2
Сократим общий множитель.
Этап 35.6.46.4.3
Перепишем это выражение.
Этап 35.6.47
Умножим на .
Этап 35.6.48
Объединим.
Этап 35.6.49
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 35.6.50
Сократим общий множитель .
Этап 35.6.50.1
Сократим общий множитель.
Этап 35.6.50.2
Перепишем это выражение.
Этап 35.6.51
Упростим числитель.
Этап 35.6.51.1
Применим правило умножения к .
Этап 35.6.51.2
Возведем в степень .
Этап 35.6.52
Перепишем в виде произведения.
Этап 35.6.53
Умножим на .
Этап 35.6.54
Умножим на .
Этап 35.6.55
Объединим и .
Этап 35.6.56
Объединим и .
Этап 35.6.57
Умножим на .
Этап 35.6.58
Умножим на .
Этап 35.6.59
Умножим на .
Этап 35.6.60
Объединим.
Этап 35.6.61
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 35.6.62
Сократим общий множитель .
Этап 35.6.62.1
Сократим общий множитель.
Этап 35.6.62.2
Перепишем это выражение.
Этап 35.6.63
Умножим на .
Этап 35.6.64
Умножим на .
Этап 35.6.65
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 35.6.66
Запишем каждое выражение с общим знаменателем , умножив на подходящий множитель .
Этап 35.6.66.1
Умножим на .
Этап 35.6.66.2
Умножим на .
Этап 35.6.67
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 35.6.68
Умножим на .
Этап 36
Этап 36.1
Точное значение : .
Этап 36.2
Точное значение : .
Этап 37
Этап 37.1
Упростим числитель.
Этап 37.1.1
Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.
Этап 37.1.2
Точное значение : .
Этап 37.2
Разделим на .
Этап 37.3
Умножим на .
Этап 37.4
Удалим число полных оборотов , чтобы угол оказался больше или равен и меньше .
Этап 37.5
Точное значение : .
Этап 37.6
Умножим на .
Этап 37.7
Упростим каждый член.
Этап 37.7.1
Упростим числитель.
Этап 37.7.1.1
Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.
Этап 37.7.1.2
Точное значение : .
Этап 37.7.1.3
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 37.7.2
Разделим на .
Этап 37.7.3
Разделим на .
Этап 37.8
Добавим и .
Этап 37.9
Добавим и .
Этап 37.10
Добавим и .
Этап 37.11
Умножим .
Этап 37.11.1
Умножим на .
Этап 37.11.2
Возведем в степень .
Этап 37.11.3
Возведем в степень .
Этап 37.11.4
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 37.11.5
Добавим и .
Этап 37.11.6
Умножим на .
Этап 37.12
Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.
Этап 37.13
Точное значение : .
Этап 37.14
Умножим на .
Этап 37.15
Умножим на .
Этап 37.16
Добавим и .
Этап 37.17
Умножим на .
Этап 37.18
Удалим число полных оборотов , чтобы угол оказался больше или равен и меньше .
Этап 37.19
Точное значение : .
Этап 37.20
Умножим на .
Этап 37.21
Добавим и .
Этап 37.22
Умножим на .
Этап 37.23
Добавим и .
Этап 37.24
Упростим каждый член.
Этап 37.24.1
Сократим общий множитель и .
Этап 37.24.1.1
Вынесем множитель из .
Этап 37.24.1.2
Сократим общие множители.
Этап 37.24.1.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 37.24.1.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 37.24.1.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 37.24.2
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 37.25
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 37.26
Запишем каждое выражение с общим знаменателем , умножив на подходящий множитель .
Этап 37.26.1
Умножим на .
Этап 37.26.2
Умножим на .
Этап 37.27
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 37.28
Добавим и .
Этап 37.29
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 37.30
Запишем каждое выражение с общим знаменателем , умножив на подходящий множитель .
Этап 37.30.1
Умножим на .
Этап 37.30.2
Умножим на .
Этап 37.31
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 37.32
Умножим на .
Этап 38
Этап 38.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 38.2
Умножим на .
Этап 38.3
Умножим на .
Этап 38.4
Вычтем из .
Этап 39
Результат можно представить в различном виде.
Точная форма:
Десятичная форма: