Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{12}} 1 - \cos (2 x) d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{\frac{π}{12}} d x + \int_{0}^{\frac{π}{12}} - \cos (2 x) d x$

Этап 2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$x]_{0}^{\frac{π}{12}} + \int_{0}^{\frac{π}{12}} - \cos (2 x) d x$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$x]_{0}^{\frac{π}{12}} - \int_{0}^{\frac{π}{12}} \cos (2 x) d x$

Этап 4

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 4.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 4.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 4.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Этап 4.3

Умножим $2$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 4.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{12}$

Этап 4.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (6)}$

Этап 4.5.2

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 6}$

Этап 4.5.3

Перепишем это выражение.

$u_{upper} = \frac{π}{6}$

Этап 4.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{6}$

Этап 4.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$x]_{0}^{\frac{π}{12}} - \int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Этап 5

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$x]_{0}^{\frac{π}{12}} - \int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{\cos (u)}{2} d u$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$x]_{0}^{\frac{π}{12}} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos (u) d u)$

Этап 7

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$x]_{0}^{\frac{π}{12}} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{6}}$

Этап 8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем значение $x$ в $\frac{π}{12}$ и в $0$ .

$(\frac{π}{12}) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{6}}$

Этап 8.2

Найдем значение $\sin (u)$ в $\frac{π}{6}$ и в $0$ .

$(\frac{π}{12}) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (\frac{π}{6})) - \sin (0))$

Этап 8.3

Добавим $\frac{π}{12}$ и $0$ .

$\frac{π}{12} - \frac{1}{2} (\sin (\frac{π}{6}) - \sin (0))$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{6})$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{12} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - \sin (0))$

Этап 9.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{π}{12} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - 0)$

Этап 9.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{π}{12} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} + 0)$

Этап 9.4

Добавим $\frac{1}{2}$ и $0$ .

$\frac{π}{12} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 9.5

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{12} - \frac{1}{2 \cdot 2}$

Этап 9.6

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{π}{12} - \frac{1}{4}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{π}{12} - \frac{1}{4}$

Десятичная форма:

$0.01179938 \dots$