Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sec^{2} (\frac{x}{2}) d x$

Этап 1

Пусть $u = \frac{x}{2}$ . Тогда $d u = \frac{1}{2} d x$ , следовательно $2 d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \frac{x}{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Этап 1.1.2

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Этап 1.1.4

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = \frac{x}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{0}{2}$

Этап 1.3

Разделим $0$ на $2$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = \frac{x}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$u_{upper} = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 1.5.2

Умножим $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Этап 1.5.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) (1 \cdot 2) d u$

Этап 2.2

Умножим $2$ на $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) \cdot 2 d u$

Этап 2.3

Перенесем $2$ влево от $\sec^{2} (u)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 2 \sec^{2} (u) d u$

Этап 3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) d u$

Этап 4

Поскольку производная $\tan (u)$ равна $\sec^{2} (u)$ , интеграл $\sec^{2} (u)$ равен $\tan (u)$ .

$2 (\tan (u)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Этап 5

Найдем значение $\tan (u)$ в $\frac{π}{4}$ и в $0$ .

$2 (\tan (\frac{π}{4}) - \tan (0))$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$2 (1 - \tan (0))$

Этап 6.2

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$2 (1 - 0)$

Этап 6.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$2 (1 + 0)$

Этап 6.4

Добавим $1$ и $0$ .

$2 \cdot 1$

Этап 6.5

Умножим $2$ на $1$ .

$2$