Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{r}{4 + r^{2}} d r$

Этап 1

Пусть $u = 4 + r^{2}$ . Тогда $d u = 2 r d r$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = r d r$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 4 + r^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d r}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $4 + r^{2}$ .

$\frac{d}{d r} [4 + r^{2}]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $4 + r^{2}$ по $r$ имеет вид $\frac{d}{d r} [4] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$\frac{d}{d r} [4] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Этап 1.1.3

Поскольку $4$ является константой относительно $r$ , производная $4$ относительно $r$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 2 r$

Этап 1.1.5

Добавим $0$ и $2 r$ .

$2 r$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $r$ в $u = 4 + r^{2}$ .

$u_{lower} = 4 + 0^{2}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = 4 + 0$

Этап 1.3.2

Добавим $4$ и $0$ .

$u_{lower} = 4$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $r$ в $u = 4 + r^{2}$ .

$u_{upper} = 4 + {(\frac{π}{2})}^{2}$

Этап 1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим правило умножения к $\frac{π}{2}$ .

$u_{upper} = 4 + \frac{π^{2}}{2^{2}}$

Этап 1.5.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$u_{upper} = 4 + \frac{π^{2}}{4}$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 4 + \frac{π^{2}}{4}$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Этап 2.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$\int_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}} \frac{1}{2 u} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}} \frac{1}{u} d u$

Этап 4

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}}$

Этап 5

Найдем значение $\ln (| u |)$ в $4 + \frac{π^{2}}{4}$ и в $4$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| 4 + \frac{π^{2}}{4} |) - \ln (| 4 |))$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| 4 + \frac{π^{2}}{4} |}{| 4 |})$

Этап 6.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (\frac{| 4 + \frac{π^{2}}{4} |}{| 4 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 4 + \frac{π^{2}}{4} |}{| 4 |})}{2}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

$4 + \frac{π^{2}}{4}$ приблизительно равно $6.4674011$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{\ln (\frac{4 + \frac{π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

Этап 7.1.2

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\ln (\frac{4 \cdot \frac{4}{4} + \frac{π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

Этап 7.1.3

Объединим $4$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\ln (\frac{\frac{4 \cdot 4}{4} + \frac{π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

Этап 7.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\ln (\frac{\frac{4 \cdot 4 + π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

Этап 7.1.5

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{\ln (\frac{\frac{16 + π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

Этап 7.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $4$ равно $4$ .

$\frac{\ln (\frac{\frac{16 + π^{2}}{4}}{4})}{2}$

Этап 7.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{\ln (\frac{16 + π^{2}}{4} \cdot \frac{1}{4})}{2}$

Этап 7.4

Умножим $\frac{16 + π^{2}}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Умножим $\frac{16 + π^{2}}{4}$ на $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\ln (\frac{16 + π^{2}}{4 \cdot 4})}{2}$

Этап 7.4.2

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{\ln (\frac{16 + π^{2}}{16})}{2}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\ln (\frac{16 + π^{2}}{16})}{2}$

Десятичная форма:

$0.24023999 \dots$

Этап 9