Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{- \cos (x)} \sin (x) d x$

Этап 1

Пусть $u = - \cos (x)$ . Тогда $d u = \sin (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = - \cos (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $- \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Этап 1.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cos (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.1.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- - \sin (x)$

Этап 1.1.4

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \sin (x)$

Этап 1.1.4.2

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x)$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = - \cos (x)$ .

$u_{lower} = - \cos (0)$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$u_{lower} = - 1 \cdot 1$

Этап 1.3.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$u_{lower} = - 1$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = - \cos (x)$ .

$u_{upper} = - \cos (\frac{π}{2})$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$u_{upper} = - 0$

Этап 1.5.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$u_{upper} = 0$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 0$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{- 1}^{0} e^{u} d u$

Этап 2

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$e^{u}]_{- 1}^{0}$

Этап 3

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение $e^{u}$ в $0$ и в $- 1$ .

$(e^{0}) - e^{- 1}$

Этап 3.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$1 - e^{- 1}$

Этап 4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{1}{e}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$1 - \frac{1}{e}$

Десятичная форма:

$0.63212055 \dots$