Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (t)}{\sqrt{1 + \sin^{2} (t)}} d t$

Этап 1

Пусть $u = \sin (t)$ . Тогда $d u = \cos (t) d t$ , следовательно $\frac{1}{\cos (t)} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \sin (t)$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\sin (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sin (t)]$

Этап 1.1.2

Производная $\sin (t)$ по $t$ равна $\cos (t)$ .

$\cos (t)$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $t$ в $u = \sin (t)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Этап 1.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $t$ в $u = \sin (t)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Этап 1.5

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$u_{upper} = 1$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}} d u$

Этап 2

Пусть $u = \tan (t_{1})$ , где $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d u = \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ , выражение $\sec^{2} (t_{1})$ положительно.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^{2} (t_{1})}} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $\sqrt{1 + \tan^{2} (t_{1})}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Переставляем члены.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sqrt{\tan^{2} (t_{1}) + 1}} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

Этап 3.1.2

Применим формулу Пифагора.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sqrt{\sec^{2} (t_{1})}} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

Этап 3.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sec (t_{1})} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $\sec (t_{1})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $\sec (t_{1})$ из $\sec^{2} (t_{1})$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sec (t_{1})} (\sec (t_{1}) \sec (t_{1})) d t_{1}$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sec (t_{1})} (\sec (t_{1}) \sec (t_{1})) d t_{1}$

Этап 3.2.3

Перепишем это выражение.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec (t_{1}) d t_{1}$

Этап 4

Интеграл $\sec (t_{1})$ по $t_{1}$ имеет вид $\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |)$ .

$\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

Этап 5

Найдем значение $\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |)$ в $\frac{π}{4}$ и в $0$ .

$\ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Точное значение $\sec (\frac{π}{4})$ : $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Этап 6.2

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Этап 6.3

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + \tan (0) |)$

Этап 6.4

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |)$

Этап 6.5

Добавим $1$ и $0$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 |)$

Этап 6.6

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Этап 7.1.1.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.2.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Этап 7.1.1.2.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Этап 7.1.1.2.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} + 1 |}{| 1 |})$

Этап 7.1.1.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + 1 |}{| 1 |})$

Этап 7.1.1.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Этап 7.1.1.2.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Этап 7.1.1.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 1 |}{| 1 |})$

Этап 7.1.1.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + 1 |}{| 1 |})$

Этап 7.1.1.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + 1 |}{| 1 |})$

Этап 7.1.1.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} + 1 |}{| 1 |})$

Этап 7.1.1.2.6.5

Найдем экспоненту.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1 |}{| 1 |})$

Этап 7.1.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1 |}{| 1 |})$

Этап 7.1.1.3.2

Разделим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$\ln (\frac{| \sqrt{2} + 1 |}{| 1 |})$

Этап 7.1.2

$\sqrt{2} + 1$ приблизительно равно $2.41421356$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{| 1 |})$

Этап 7.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{1})$

Этап 7.3

Разделим $\sqrt{2} + 1$ на $1$ .

$\ln (\sqrt{2} + 1)$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\ln (\sqrt{2} + 1)$

Десятичная форма:

$0.88137358 \dots$