Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \sin (x) d x$

Этап 1

Пусть $u = \cos (x)$ . Тогда $d u = - \sin (x) d x$ , следовательно $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \cos (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.1.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Этап 1.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Этап 1.5

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$u_{upper} = 0$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{1}^{0} - u^{2} d u$

Этап 2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{1}^{0} u^{2} d u$

Этап 3

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0})$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{3}$ и $u^{3}$ .

$- (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0})$

Этап 5

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение $\frac{u^{3}}{3}$ в $0$ и в $1$ .

$- ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- (\frac{0}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 5.2.2

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$- (\frac{3 (0)}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 5.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 5.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 5.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- (\frac{0}{1} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 5.2.2.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- (0 - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 5.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$- (0 - \frac{1}{3})$

Этап 5.2.4

Вычтем $\frac{1}{3}$ из $0$ .

$- - \frac{1}{3}$

Этап 5.2.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{1}{3})$

Этап 5.2.6

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$\frac{1}{3}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{3}$

Десятичная форма:

$0.\overline{3}$