Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} x \cos (x) d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = \cos (x)$ .

$x \sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (x) d x$

Этап 2

Интеграл $\sin (x)$ по $x$ имеет вид $- \cos (x)$ .

$x \sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Найдем значение $x \sin (x)$ в $\frac{π}{2}$ и в $0$ .

$(\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - (- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

Этап 3.1.2

Найдем значение $- \cos (x)$ в $\frac{π}{2}$ и в $0$ .

$(\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Этап 3.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Объединим $\frac{π}{2}$ и $\sin (\frac{π}{2})$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Этап 3.1.3.2

Умножим $0$ на $\sin (0)$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} + 0 - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Этап 3.1.3.3

Добавим $\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2}$ и $0$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Этап 3.1.3.4

Чтобы записать $- (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} - (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot \frac{2}{2}$

Этап 3.1.3.5

Объединим $- (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{- (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot 2}{2}$

Этап 3.1.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) - (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot 2}{2}$

Этап 3.1.3.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$\frac{π \cdot 1 - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2}$

Этап 3.2.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$\frac{π \cdot 1 - 2 (- 0 + \cos (0))}{2}$

Этап 3.2.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{π \cdot 1 - 2 (- 0 + 1)}{2}$

Этап 3.2.4

Умножим $π$ на $1$ .

$\frac{π - 2 (- 0 + 1)}{2}$

Этап 3.2.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{π - 2 (0 + 1)}{2}$

Этап 3.2.6

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{π - 2 \cdot 1}{2}$

Этап 3.2.7

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{π - 2}{2}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{π - 2}{2}$

Десятичная форма:

$0.57079632 \dots$