Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} {(\cos (x) + \sec (x))}^{2} d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(\cos (x) + \sec (x))}^{2}$ в виде $(\cos (x) + \sec (x)) (\cos (x) + \sec (x))$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} (\cos (x) + \sec (x)) (\cos (x) + \sec (x)) d x$

Этап 1.2

Развернем $(\cos (x) + \sec (x)) (\cos (x) + \sec (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (x) (\cos (x) + \sec (x)) + \sec (x) (\cos (x) + \sec (x)) d x$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (x) \cos (x) + \cos (x) \sec (x) + \sec (x) (\cos (x) + \sec (x)) d x$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (x) \cos (x) + \cos (x) \sec (x) + \sec (x) \cos (x) + \sec (x) \sec (x) d x$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $\cos (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos^{1} (x) \cos (x) + \cos (x) \sec (x) + \sec (x) \cos (x) + \sec (x) \sec (x) d x$

Этап 1.3.1.1.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \cos (x) \sec (x) + \sec (x) \cos (x) + \sec (x) \sec (x) d x$

Этап 1.3.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} {\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \sec (x) + \sec (x) \cos (x) + \sec (x) \sec (x) d x$

Этап 1.3.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (x) + \cos (x) \sec (x) + \sec (x) \cos (x) + \sec (x) \sec (x) d x$

Этап 1.3.1.2

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.1

Изменим порядок $\cos (x)$ и $\sec (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (x) + \sec (x) \cos (x) + \sec (x) \cos (x) + \sec (x) \sec (x) d x$

Этап 1.3.1.2.2

Выразим $\cos (x) \sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (x) + \frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \sec (x) \cos (x) + \sec (x) \sec (x) d x$

Этап 1.3.1.2.3

Сократим общие множители.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (x) + 1 + \sec (x) \cos (x) + \sec (x) \sec (x) d x$

Этап 1.3.1.3

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.3.1

Выразим $\sec (x) \cos (x)$ через синусы и косинусы.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (x) + 1 + \frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \sec (x) \sec (x) d x$

Этап 1.3.1.3.2

Сократим общие множители.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (x) + 1 + 1 + \sec (x) \sec (x) d x$

Этап 1.3.1.4

Умножим $\sec (x) \sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.4.1

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (x) + 1 + 1 + \sec^{1} (x) \sec (x) d x$

Этап 1.3.1.4.2

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (x) + 1 + 1 + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) d x$

Этап 1.3.1.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (x) + 1 + 1 + {\sec (x)}^{1 + 1} d x$

Этап 1.3.1.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (x) + 1 + 1 + \sec^{2} (x) d x$

Этап 1.3.2

Добавим $1$ и $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (x) + 2 + \sec^{2} (x) d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 d x + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

Этап 3

Используем формулу половинного угла для записи $\cos^{2} (x)$ в виде $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x + \int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 d x + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{3}} 1 + \cos (2 x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 d x + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} (\int_{0}^{\frac{π}{3}} d x + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (2 x) d x) + \int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 d x + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{3}} + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (2 x) d x) + \int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 d x + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

Этап 7

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 7.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 7.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 7.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Этап 7.3

Умножим $2$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 7.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{3}$

Этап 7.5

Объединим $2$ и $\frac{π}{3}$ .

$u_{upper} = \frac{2 π}{3}$

Этап 7.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{2 π}{3}$

Этап 7.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{3}} + \int_{0}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u) \frac{1}{2} d u) + \int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 d x + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

Этап 8

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{3}} + \int_{0}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u)}{2} d u) + \int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 d x + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

Этап 9

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u) d u) + \int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 d x + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

Этап 10

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{2 π}{3}}) + \int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 d x + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

Этап 11

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{2 π}{3}}) + 2 x]_{0}^{\frac{π}{3}} + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

Этап 12

Поскольку производная $\tan (x)$ равна $\sec^{2} (x)$ , интеграл $\sec^{2} (x)$ равен $\tan (x)$ .

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{2 π}{3}}) + 2 x]_{0}^{\frac{π}{3}} + \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{3}}$

Этап 13

Объединим $2 x]_{0}^{\frac{π}{3}}$ и $\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{2 π}{3}}) + 2 x + \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{3}}$

Этап 14

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Найдем значение $x$ в $\frac{π}{3}$ и в $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{3}) + 0 + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{2 π}{3}}) + 2 x + \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{3}}$

Этап 14.2

Найдем значение $\sin (u)$ в $\frac{2 π}{3}$ и в $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{3}) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (0))) + 2 x + \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{3}}$

Этап 14.3

Найдем значение $2 x + \tan (x)$ в $\frac{π}{3}$ и в $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{3}) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (0))) + (2 \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3})) - (2 \cdot 0 + \tan (0))$

Этап 14.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Добавим $\frac{π}{3}$ и $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (0))) + (2 \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3})) - (2 \cdot 0 + \tan (0))$

Этап 14.4.2

Объединим $2$ и $\frac{π}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (0))) + \frac{2 π}{3} + \tan (\frac{π}{3}) - (2 \cdot 0 + \tan (0))$

Этап 14.4.3

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (0))) + \frac{2 π}{3} + \tan (\frac{π}{3}) - (0 + \tan (0))$

Этап 14.4.4

Добавим $0$ и $\tan (0)$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (0))) + \frac{2 π}{3} + \tan (\frac{π}{3}) - \tan (0)$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - 0)) + \frac{2 π}{3} + \tan (\frac{π}{3}) - \tan (0)$

Этап 15.2

Точное значение $\tan (\frac{π}{3})$ : $\sqrt{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - 0)) + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3} - \tan (0)$

Этап 15.3

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - 0)) + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3} - 0$

Этап 15.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) + 0)) + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3} - 0$

Этап 15.5

Добавим $\sin (\frac{2 π}{3})$ и $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{1}{2} \sin (\frac{2 π}{3})) + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3} - 0$

Этап 15.6

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sin (\frac{2 π}{3})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{\sin (\frac{2 π}{3})}{2}) + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3} - 0$

Этап 15.7

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{\sin (\frac{2 π}{3})}{2}) + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3} + 0$

Этап 15.8

Добавим $\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{\sin (\frac{2 π}{3})}{2}) + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$ и $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{\sin (\frac{2 π}{3})}{2}) + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

Этап 16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{\sin (\frac{π}{3})}{2}) + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

Этап 16.1.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}) + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

Этап 16.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

Этап 16.1.3

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2}) + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

Этап 16.1.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4}) + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

Этап 16.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

Этап 16.3

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.3.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{π}{3}$ .

$\frac{π}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

Этап 16.3.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{π}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

Этап 16.4

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.4.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sqrt{3}}{4}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 4} + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

Этап 16.4.2

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{8} + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

Этап 16.5

Чтобы записать $\frac{2 π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{8} + \sqrt{3}$

Этап 16.6

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.6.1

Умножим $\frac{2 π}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{8} + \sqrt{3}$

Этап 16.6.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{6} + \frac{\sqrt{3}}{8} + \sqrt{3}$

Этап 16.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π + 2 π \cdot 2}{6} + \frac{\sqrt{3}}{8} + \sqrt{3}$

Этап 16.8

Чтобы записать $\frac{π + 2 π \cdot 2}{6}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π + 2 π \cdot 2}{6} \cdot \frac{4}{4} + \frac{\sqrt{3}}{8} + \sqrt{3}$

Этап 16.9

Чтобы записать $\frac{\sqrt{3}}{8}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π + 2 π \cdot 2}{6} \cdot \frac{4}{4} + \frac{\sqrt{3}}{8} \cdot \frac{3}{3} + \sqrt{3}$

Этап 16.10

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $24$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.10.1

Умножим $\frac{π + 2 π \cdot 2}{6}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{(π + 2 π \cdot 2) \cdot 4}{6 \cdot 4} + \frac{\sqrt{3}}{8} \cdot \frac{3}{3} + \sqrt{3}$

Этап 16.10.2

Умножим $6$ на $4$ .

$\frac{(π + 2 π \cdot 2) \cdot 4}{24} + \frac{\sqrt{3}}{8} \cdot \frac{3}{3} + \sqrt{3}$

Этап 16.10.3

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{8}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(π + 2 π \cdot 2) \cdot 4}{24} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{8 \cdot 3} + \sqrt{3}$

Этап 16.10.4

Умножим $8$ на $3$ .

$\frac{(π + 2 π \cdot 2) \cdot 4}{24} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{24} + \sqrt{3}$

Этап 16.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(π + 2 π \cdot 2) \cdot 4 + \sqrt{3} \cdot 3}{24} + \sqrt{3}$

Этап 16.12

Изменим порядок членов.

$\frac{4 (π + 2 π \cdot 2) + 3 \sqrt{3}}{24} + \sqrt{3}$

Этап 16.13

Объединим $\frac{4 (π + 2 π \cdot 2) + 3 \sqrt{3}}{24}$ и $\sqrt{3}$ , используя общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.13.1

Перенесем $π$ .

$\frac{4 (π + 2 \cdot 2 π) + 3 \sqrt{3}}{24} + \sqrt{3}$

Этап 16.13.2

Чтобы записать $\sqrt{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{24}{24}$ .

$\frac{4 (π + 2 \cdot 2 π) + 3 \sqrt{3}}{24} + \sqrt{3} \cdot \frac{24}{24}$

Этап 16.13.3

Объединим $\sqrt{3}$ и $\frac{24}{24}$ .

$\frac{4 (π + 2 \cdot 2 π) + 3 \sqrt{3}}{24} + \frac{\sqrt{3} \cdot 24}{24}$

Этап 16.13.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 (π + 2 \cdot 2 π) + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 24}{24}$

Этап 16.14

Изменим порядок множителей в $\sqrt{3} \cdot 24$ .

$\frac{4 (π + 2 \cdot 2 π) + 3 \sqrt{3} + 24 \sqrt{3}}{24}$

Этап 16.15

Добавим $3 \sqrt{3}$ и $24 \sqrt{3}$ .

$\frac{4 (π + 2 \cdot 2 π) + 27 \sqrt{3}}{24}$

Этап 16.16

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 (π + 4 π) + 27 \sqrt{3}}{24}$

Этап 16.17

Добавим $π$ и $4 π$ .

$\frac{4 \cdot 5 π + 27 \sqrt{3}}{24}$

Этап 17

Умножим $4$ на $5$ .

$\frac{20 π + 27 \sqrt{3}}{24}$

Этап 18

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{20 π + 27 \sqrt{3}}{24}$

Десятичная форма:

$4.56655103 \dots$