Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} x \sin (x^{2}) d x$

Этап 1

Пусть $u = x^{2}$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{2}$ .

$u_{lower} = 0^{2}$

Этап 1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{2}$ .

$u_{upper} = {(\frac{π}{2})}^{2}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим правило умножения к $\frac{π}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{π^{2}}{2^{2}}$

Этап 1.5.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$u_{upper} = \frac{π^{2}}{4}$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π^{2}}{4}$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Этап 2

Объединим $\sin (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \frac{\sin (u)}{2} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \sin (u) d u$

Этап 4

Интеграл $\sin (u)$ по $u$ имеет вид $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{\frac{π^{2}}{4}}$

Этап 5

Найдем значение $- \cos (u)$ в $\frac{π^{2}}{4}$ и в $0$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (\frac{π^{2}}{4}) + \cos (0))$

Этап 6

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (\frac{π^{2}}{4}) + 1)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $\cos (\frac{π^{2}}{4})$ .

$\frac{1}{2} (- - 0.78121189 + 1)$

Этап 7.2

Умножим $- 1$ на $- 0.78121189$ .

$\frac{1}{2} (0.78121189 + 1)$

Этап 7.3

Добавим $0.78121189$ и $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1.78121189$

Этап 7.4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $1.78121189$ .

$\frac{1.78121189}{2}$

Этап 7.5

Разделим $1.78121189$ на $2$ .

$0.89060594$